内蒙古赤峰二中、平煤高中2013届高三5月联合考试数学文试题

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合
，
，则满足条件的实数
的个数有

A．
个 B
个 C．
个 D
个

2.
中，
，顶点
处分别有一枚半径为1的硬币（顶点
分别与硬币的中心重合）。向
内部投一点，那么该点落在阴影部分的概率为 A

A.
B.
C.
D.

3.若复数
，则
等于

A.
B.
C.
D.

4.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D.

5.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为

A．
B.
C.
D.

6.已知四棱锥
的三视图如图1所示，则四棱锥
的四个侧面中面积最大的是

A．
B．
C．
D．

7.已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△
的面积为

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

8.如图是函数

在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

9.设函数
（
且
）在
上既是奇函数又是增函数，则
的图象是

A B C D

10.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
, AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。当x
［0,1］时，f（x）＝
－x，若g（x）＝f（x）－m（x＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m的取值范围是

　（A）（－
，
）　　（B）（－
，
］　　（C）
　（D）

12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
、
是一对相关曲线的焦点，
是它们在第一象限的交点，当
时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

．

．

．

．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二填空题（共4个小题每小题5分）

已知向量
=(sin
,2)与向量
=(cos
,1)互相平行，则tan2
的值为_______。

14.直线过点（-1，3），且与曲线
在点（1，-1）处的切线相互垂直，则直线的方程为 。

15.已知
则
的值等于 。

16.下面6个命题：①把函数
的图象向右平移
个单位，得到
的图象;

②函数
的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则
是f(x)的单调递增区间;

③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;

④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件。

⑤设
是
的重心，且

，则角
的大小为

⑥已知变量
满足约束条件
，则
的取值范围是

其中所有正确命题的序号为________

17.(本小题满分12分 )在
中，内角A,B,C的对边分别为
且
，b=2,

求A的值。

若边AB上的中线
求
的值；

18．(本小题满分12分 ) 以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆
学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆
学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.

（1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数

和方差；

（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.

19.（本小题满分12分）

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，
E、F分别是AB、PD的中点.

（I）求证：AF//平面PCE；

（II）求证：平面
平面PCD；

（III）求四面体PEFC的体积.

20（本小题满分12分）.已知椭圆
的上顶点为
,左焦点为
,直线
与圆
相切.过点
的直线与椭圆
交于
两点.

(I)求椭圆
的方程;

(II)当
的面积达到最大时,求直线的方程.

21.(本小题满分12分 )已知函数
，其中
是自然对数的底数，
．

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
，求
的单调区间；

（3）若
，函数
的图象与函数
的图象有3个不同的交点，求实数
的取值范围.

22（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图6，已知圆
外有一点
，作圆
的切线
，
为切点，过
的中点
，作割线
，交圆于
、
两点，连接
并延长，交圆
于点
，连续
交圆
于点
，若
．

（1）求证：△
∽△
；

（2）求证：四边形
是平行四边形．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线
为参数）和定点
F1，F2是圆锥曲线的左右焦点。

（1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程。

24（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设

（1）当a=l时，解不等式
；

（2）若
恒成立，求正实数a的取值范围。

赤峰二中520模拟试题文数答案

1B 2A 3D 4A 5D 6C 7D 8C 9C 10B 11B 12A

13．
14.2x+y-1=0 15. 2008 16. 235

17，在
中，内角A,B,C的对边分别为
且
，b=2,

求A的值。

若边AB上的中线
求
的值；

解：（1）由正弦定理得，
则

6分

当
在
中，由余弦定理得

----------------------8分

得AD=3或-1（舍）所以AB=6,在
中，由余弦定理得BC=a=
.---------10分

当
时，同理得，a=
---------------------------------12分

18. 解（1）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为
…………………3分

方差为
……………6分

（2）记甲组3名同学为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B1，B2，B3，B4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，

B1 B3，B1B4，B3B4. …………………9分

用C表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，

故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为
…………………12分

20解:(I)将圆
的一般方程
化为标准方程
,则圆
的圆心
,半径
.由
得直线
的方程为
.

由直线
与圆
相切,得
,

所以
或
(舍去).

当
时,
,

故椭圆
的方程为
.………………………………………………5分

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为
,

则直线的方程为
.

因为
,

所以当
时,
的面积
达到最大,

此时
,即
.

故当
的面积达到最大时,直线的方程为
.…………………12分

2121. 解：（1）因为
，

所以

， ………………1分

所以曲线
在点
处的切线斜率为
.

又因为
，

所以所求切线方程为
，即
． ………………2分

（2）

，

①若
，当
或
时，
；

当

时，
.

所以
的单调递减区间为
，
；

单调递增区间为
. …………………4分

②若
，

，所以
的单调递减区间为
.

③若
，当
或
时，
；

当
时，
.

所以
的单调递减区间为
，
；

单调递增区间为
. …………………7分

（3）由（2）知，
在
上单调递减，在
单调递增，在
上单调递减，

所以
在
处取得极小值
，在
处取得极大值
.

由
，得
.

当
或
时，
；当

时，
.-------------------10分

所以
在
上单调递增，在
单调递减，在
上单调递增.

故
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
.

因为函数
与函数
的图象有3个不同的交点，

所以
，即
. 所以
.…………12分

22

证明：（Ⅰ）∵
是圆
的切线，
是圆
的割线，
是
的中点，

21.函数
.

若函数
在
处取极值，求
的值；

若
时，函数
的图像永远在直线
的下方，求
的取值范围；

求证：
。

答案：（1）
=2

（2）由题意得
,即
，因为
，所以
。

令
，则
，令
，得
。

所以
，所以
。

（3）由（2）得
在
时单调递减，所以函数
在
时单调递减。所以当
时，

22

证明：（Ⅰ）∵
是圆
的切线，
是圆
的割线，
是
的中点，