2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

赤峰二中520模拟试题

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合
，
，则满足条件的实数
的个数有

A．
个 B
个 C．
个 D
个

2.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有
架歼
飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法

A.
B.
C.
D.

3.若复数
，则
等于

A.
B.
C.
D.

4.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D.

5.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为

A．
B.
C.
D.

6.已知四棱锥
的三视图如图1所示，则四棱锥
的四个侧面中面积最大的是

A．
B．
C．
D．

7.已知抛物线
的焦点
与双曲线错误！未找到引用源。的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△错误！未找到引用源。的面积为

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

8.如图是函数

在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

9.设函数
（
且
）在
上既是奇函数又是增函数，则
的图象是

A B C D

10.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
, AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。当x
［0,1］时，f（x）＝
－x，若g（x）＝f（x）－m（x＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m的取值范围是

　（A）（－
，
）　　（B）（－
，
］　　（C）
　（D）

12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
、
是一对相关曲线的焦点，
是它们在第一象限的交点，当
时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

．

．

．

．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二填空题（共4个小题每小题5分）

已知向量
=(sin
,2)与向量
=(cos
,1)互相平行，则tan2
的值为_______。

14．设
，则
展开式中含
项的系数是_________。

15，已知数列满足：
，
，（
），若
，
，且数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围为 ．

16.下面6个命题：①把函数
的图象向右平移
个单位，得到
的图象;

②函数
的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则
是f(x)的单调递增区间;

③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;

④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件。

⑤设
是
的重心，且

，则角
的大小为

⑥已知变量
满足约束条件
，则
的取值范围是

其中所有正确命题的序号为________

17，在
中，内角A,B,C的对边分别为
且
，b=2,

求A的值。

若边AB上的中线
求
的值；

18．（本题满分12分）甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．

（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；

（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为
，求
的均值
．

19.（本题满分12分）如图, 在体积为1的三棱柱ABC - A1B1C1中, 侧棱AA1(底面ABC, AB(AC, AC = AA1 = 1, P为线段AB上的动点.

(1)求证: CA1(C1P; (2)当AP为何值时, 二面角C1 - PB1 - A1的大小为
?

20（本小题满分12分）.已知椭圆
的上顶点为
,左焦点为
,直线
与圆
相切.过点
的直线与椭圆
交于
两点.

(I)求椭圆
的方程;

(II)当
的面积达到最大时,求直线的方程.

21.(本小题满分12分 )函数
.

若函数
在
处取极值，求
的值；

若
时，函数
的图像永远在直线
的下方，求
的取值范围；

求证：
。

22（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图6，已知圆
外有一点
，作圆
的切线
，
为切点，过
的中点
，作割线
，交圆于
、
两点，连接
并延长，交圆
于点
，连接
交圆
于点
，若
．

（1）求证：△
∽△
；

（2）求证：四边形
是平行四边形．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线
为参数）和定点
F1，F2是圆锥曲线的左右焦点。

（1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程。

24（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设

（1）当a=l时，解不等式
；

（2）若
恒成立，求正实数a的取值范围。

赤峰二中520模拟试题理数答案

1B 2C 3D 4A 5D 6C 7D 8C 9C 10B 11B 12A

13．
14．40 15，
16. 235

17，解：（1）由正弦定理得，
则 ----------3分

6分

当
在
中，由余弦定理得------------------------8分

得AD=3或-1（舍）所以AB=6,在
中，由余弦定理得BC=a=
-------10分

当
时，同理得，a=
----------------------------------12分

18.解析: (1)连接AC1，C1B.

∵侧棱AA1⊥底面ABC, ∴AA1⊥AB,

又∵AB⊥AC, AC∩AA1 = A, ∴AB⊥平面A1ACC1, ∴AB⊥CA1.

∵AC = AA1, ∴四边形A1ACC1为正方形, ∴AC1⊥CA1.

又∵AC1∩AB = A, ∴CA1⊥平面AC1B, ∴ CA1⊥C1P. ------------------------------5分

(2)∵C1A1⊥AA1, C1A1⊥A1B1, AA1∩A1B1 = A1, ∴C1A1⊥平面ABB1A1,

又∵
=
×AB×1×1 = 1, ∴AB＝2.

如图, 以A1为原点, 建立空间直角坐标系A1 - xyz, 设AP = x(0 ≤ x ≤ 2),

则A1(0, 0, 0), B1(0, 2, 0), C1(0, 0, 1), P(1, x, 0).

由题意知平面A1PB1的一个法向量为
= (0, 0, 1). ----7分

设平面C1PB1的法向量为n = (a, b, c),

= (1, x - 2, 0),
=(0, 2, - 1),

由
, 得
,

令b = 1, 则c = 2, a = 2 - x, ∴n = (2 - x, 1, 2). -------9分

依题意: cos
=
=
,

解得x1 = 2 +
(不合题意, 舍去)，x2= 2 -
,

∴AP= 2 -
时, 二面角C1 - PB1 - A1的大小为
.--------------------------12分

20解:(I)将圆
的一般方程
化为标准方程
,则圆
的圆心
,半径
.由
得直线
的方程为
.

由直线
与圆
相切,得
,----------------------------3分

所以
或
(舍去).

当
时,
,

故椭圆
的方程为
.………………………………………………5分

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为
,

则直线的方程为
.-------------------------------------7分

因为
,

所以当
时,
的面积
达到最大,

此时
,即
.

故当
的面积达到最大时,直线的方程为
.…………………12分

21答案：（1）
=2---------------------------------------------------3分

（2）由题意得
,即
，因为
，所以
。

令
，则
，令
，得
。

所以
，所以
。-------------------------------------7分

（3）由（2）得
在
时单调递减，所以函数
在
时单调递减。所以当
时，--------------------15分

22

证明：（Ⅰ）∵
是圆
的切线，
是圆
的割线，
是
的中点，

22 证明：（Ⅰ）∵
是圆
的切线，
是圆
的割线，
是
的中点，