2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。

1、函数
的最小正周期为 ▲

2、设
（
为虚数单位），则复数
的模为 ▲

3、双曲线
的两条渐近线的方程为 ▲

4、集合
共有 ▲ 个子集

5、右图是一个算法的流程图，则输出的
的值是 ▲

6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：

运动员

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次



甲

87

91

90

89

93



乙

89

90

91

88

92



则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲

7、现在某类病毒记作
，其中正整数
，
（
，
）可以任意选取，

则
都取到奇数的概率为 ▲

8、如图，在三棱柱
中，
分别是

的中点，设三棱锥
的体积为
，三棱柱
的体

积为
，则
▲

9、抛物线
在
处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
（包含

三角形内部和边界）。若点
是区域
内的任意一点，则
的取值范围是 ▲

10、设
分别是
的边
上的点，
，
，若
（
为实数），则
的值为 ▲

11、已知
是定义在
上的奇函数。当
时，
，则不等式
的解集用区间表示为 ▲

12、在平面直角坐标系
中，椭圆
的标准方程为
，右焦点为
，右准线为
，短轴的一个端点为
，设原点到直线
的距离为
，
到
的距离为
，若
，则椭圆
的离心率为 ▲

13、在平面直角坐标系
中，设定点
，
是函数
（
）图象上一动点，若点
之间的最短距离为
，则满足条件的实数
的所有值为 ▲

14、在正项等比数列
中，
，
，则满足
的

最大正整数
的值为 ▲

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）

已知
，
。

（1）若
，求证：
；

（2）设
，若
，求
的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，过
作
，垂足为
，点
分别是棱
的中点。

求证：（1）平面
平面
；

（2）
。

17、（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系
中，点
，直线
。

设圆
的半径为
，圆心在
上。

（1）若圆心
也在直线
上，过点
作圆
的切线，

求切线的方程；

（2）若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐

标
的取值范围。

18、（本小题满分16分）

如图，游客从某旅游景区的景点
处下山至
处有两种路径。一种是从
沿直线步行到
，另一种是先从
沿索道乘缆车到
，然后从
沿直线步行到
。现有甲、乙两位游客从
处下山，甲沿
匀速步行，速度为
。在甲出发
后，乙从
乘缆车到
，在
处停留
后，再从匀速步行到
。假设缆车匀速直线运动的速度为
，山路
长为
，经测量，
，
。

（1）求索道
的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？

19、（本小题满分16分）

设
是首项为
，公差为
的等差数列
，
是其前
项和。记
，
，其中
为实数。

（1）若
，且
成等比数列，证明：
（
）；

（2）若
是等差数列，证明：
。

20、（本小题满分16分）

设函数
，
，其中
为实数。

（1）若
在
上是单调减函数，且
在
上有最小值，求
的取值范围；

（2）若
在
上是单调增函数，试求
的零点个数，并证明你的结论。

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7



答案



5



8

3

2





题号

8

9

10

11

12

13

14



答案











-1，

12





15题：（2）
，
；

16题：略

17题：
或

18题：（1）1040m，（2）
时，（3）

19题：略

20题：（1）
，（2）2