昆明三中2013届高考适应性月考卷（三）

文科数学试卷

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净

后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用黑色碳素笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集
,

，则图中阴影部分表示的集合为 （ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

，
。图中阴影部分为
，所以
，所以
，选B.

2.已知
，
为虚数单位，且
，则
的值为 （ ）

A. 2 B.
C.
D.

【答案】D

由
得
，所以
，选D.

3.如图2，正三棱柱
的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )

A．
B．
　　 C．
D．16

【答案】A

由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为
，所以侧视图的面积为
，选A.

4.若
是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线
，
；②存在一个平面
，

；③存在两条平行直线
∥
∥
；④存在两条异面直线

∥
∥
．那么可以是
∥
的充分条件有 （ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

①可以；②
也有可能相交，所以不正确；③
也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是
∥
的充分条件有2个，选C.

5.右边程序执行后输出的结果是
( )

A. 1326 B.1250 C.1225 D. 1275

【答案】D

本程序是计算
的程序，所以
，选D.

6.已知向量
，且
，若变量
满足约束条件
，则
的最大值为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

因为
，所以
，即
，得
，即
，做出可行域，作直线
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点F时，直线
的截距最大，此时
最大。由
得
，即
,代入
得
，所以
的最大值为3，选C.

7.函数
在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ）

【答案】C

令
。则
，排除A,D.又
，所以排除B,选C.

8.设函数
，其中θ∈，则导数
的取值范围是 （ ）

A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]

【答案】D

，所以

，因为
，所以
，所以
，即
，即导数
的取值范围是
，选D.

9.若直线
(a＞0，b＞0)被圆
截得的弦长为4，则
的最小值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
，半径为
。因为直线被圆截得的弦长为4，所以线长为直径，即直线
过圆心，所以
，即
，所以
，所以
，当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最小值为
，选A.

10.如图，在等腰直角
中，设
为
上靠近点
的四等分点，过
作
的垂线
，设
为垂线上任一点，
则
（ ）

A.
B.
C.
D .

【答案】A

由题意知
，
，所以
，即


，所以
选A.

11.若三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
⊥平面
，

，
，

，则球
的表面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

因为
，
，
，所以
，所以
。所以
，即
为直角三角形。因为三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心
，即小圆的半径为
.,因为
是半径，所以三角形
为等腰三角形，过
作
,则
为中点，所以
,所以半径
，所以球的表面积为
,选B.

12.若函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为 （ ）

A．8 B．9 C．10 D．13

【答案】B

由
可知函数的周期是2.由
得
，分别做出函数
的图象，由图象可知两函数的交点有9个，所以函数
的零点个数为9个，选B.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上。

13.已知数列
为等比数列，且
，则
的值为________________.

【答案】

在等比数列中
，所以
。所以
。

14.已知
中，角A、B、C所对的边分别是
，且
，则
．

【答案】

因为
，所以
，所以
。又
，所以
。

15.设椭圆的焦点为
，以
为直径的圆与椭圆的一个交点为
，若
，则椭圆的离心率为___________________.

【答案】

由题意可知
，所以
。因为
，所以
，所以
。即
，即
，即
，解得
，所以椭圆的离心率为
。

16.有下列命题：

①函数
的图象中，相邻两个对称中心的距离为
；

②函数
的图象关于点
对称；

③关于
的方程
有且仅有一个实数根的充要条件是实数
；

④已知命题
：对任意的
，都有
；

⑤线性回归方程
对应的直线一定经过其样本数据点
,
,…，
中的一个点；

其中所有真命题的序号是_______________________.

【答案】③④

①
，所以函数的周期为
，所以相邻两个对称中心的距离为
，所以①错误；②
，所以函数
的对称中心为
，所以②错误；③若
时，方程
不成立，所以
，所以要使方程有且只有一个实根，则
，解得
，所以③正确；④根据全称命题的否定式特称命题知④正确；⑤线性回归直线必过数据
，不一定过样本数据点，所以⑤错误。综上真命题的序号为③④。

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

设
是公差大于零的等差数列，已知
，
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
是以函数
的最小正周期为首项，以
为公比的等比数列，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
,点
为
的中点.

（1）求证：
；

（2）求证：
；

（3）求点
到
的距离.

19.（本小题满分12分）

某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求高三（1）班全体女生的人数；

（2）求分数在
之间的女生人数；并计算频率分布直方图中
间的矩形的高；

（3）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在
之间的概率.

20.（本小题满分12分）

已知曲线
的方程为


，曲线
是以
、
为焦点的椭圆，点
为曲线
与曲线
在第一象限的交点，且
．

(1)求曲线
的标准方程；

(2)直线
与椭圆
相交于
，
两点，若
的中点
在曲线
上，求直线
的斜率
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

设关于
的函数
，其中
且
为常数，若函数
在
处取得极大值
．

(1)求实数
的值；

(2)若函数
的图像与直线
有两个交点，求实数
的取值范围；

(3)设函数
，若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上填涂所选题目对应的题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙