罗山高中高三2013届毕业班第三轮第一次模拟考试

数学试题（文科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合M={
|
,x＞0},N={
|
},M∩N=( )

A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞)

2．设
（i为虚数单位），则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 如右边的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出的a， i分别等于( )

A．12，3 B．12，2 C．24，2 D．24，3

4.在等差数列
中，
，其前
项和为
，

若
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 圆
的弦AB中点是M（-1,0）,若∠AOB=90°(O是坐标原点),那么( )

A.r=1 B.r=
C.r=
D.r=2

6. 函数
的零点有（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

7. 已知函数y=f(x)定义在[-
]上，且其导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)

可能是 （ ）

A．y=sinx B．y=－sinx·cosx

C．y=sinx·cosx D．y=cosx

8.设向量
＝（
sinθ＋cosθ＋1，1），
＝（1，1），θ∈[
，
]，m是向量
在向量
方向上的投影，则m的最大值是( )

A．
B．4 C．2
D．3.

9.设
的三个顶点都在半径为3的球上，内角
、
、
的对边分别为
、
、
，

且
，
为球心，则几何体
的体积为( )

A．
B．
C．
D．

10. 已知点（x,y）满足约束条件
,若函数f(x)=loga(x2+1) (a>0且a≠1)图像通过的定点是（m,n）,则
的最大值为（ ）

A.1 B.
C. 2 D.4

11.已知直线x=2与双曲线
的渐近线交于E1、E2两点，记
，任取双曲线C上的点P，若
，则( )

A．
B．
C．
D．

12. 若数列
满足：存在正整数
，对于任意正整数n都有
成立，则称数列
为周期数列，周期为
. 已知数列
满足
，
,则下列结论中错误的是( )

A. 若m=
，则
B.若
，则m可以取3个不同的值

C.若
，则数列
是周期为
的数列 . D.
且
，数列
是周期数列

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______.

14.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝
＋2ax－
＋

有零点的概率为 .

15.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 .

16.在四边形ABCD中，
，
，
，则四边形ABCD的面积是 ．

三．解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

设
的内角
所对边长分别为
，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求
的最大值.

18. （本小题满分12分）

某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格” ．

（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少．

（Ⅲ）从甲队178cm以上（包括178cm）选取两人，

至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为多少．

19. 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，

DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝
，AD＝DE＝2，

G为AD的中点．

（Ⅰ）在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；

（Ⅱ）求三棱锥G－BCE的体积．

20.已知圆
为圆上一动点，

点
在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线
．

（1）求曲线
的方程；

（2）若直线
与（1）中所求点
的轨迹
交于不同两点
是坐标原点，且
，求
的取值范围．

21. 若存在实常数
和
，使函数
和
对于其定义域上的任意实数
分别满足
和
，则称直线
为曲线
和
的“隔离直线”.已知函数
，
（
为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线；若不存在，请说明理由.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲

如图，AB是
0的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是
O的割线，已知AC=AB. (I)求证：FG//AC;

(II)若CG=1，CD=4，求
的值.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

直角坐标系
中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为
，直线l的方程为
（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．

（Ⅰ）求点T的极坐标；

（Ⅱ）过点T作直线
，
被曲线C截得的线段长为2，求直线
的极坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f（x）＝

（Ⅰ）当a＝－5时，求函数f（x）的定义域：

（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

罗山高中2013届毕业班第三轮复习第一次模拟考试

文 科 数 学 参 考 答 案

一、选择题

1----4 ADAA 5-----8 BBCC 9—12 BCDD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 68 14. 1－
15. 2cm
16.

17.解：（I）在△ABC由正弦定理得

···3分

展开得
···5分

···6分

（II）由
得
中有一个钝角，若
，则
，

与已知矛盾
为锐角，
为钝角 ···8分

···11分

当且仅当
即
时
有最大值
···12分

18. （Ⅰ）中位数
cm. ………..2分

（Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，

用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是
，

所以选中的“合格”有
人， ………..4分

“不合格”有
人． ………..6分

（Ⅲ）甲队178cm以上（包括178cm）的人数共6人，从中任取2人基本事件为：

（178，181），（178，182），（178，184）（178，186）（178，191）

（181，182），（181，184），（181，186），（181，191），

（182，184），（182，186），（182，191），

（184，186），（184，191）

（186，191）共有15个； ………8分

其中至少一人在186cm以上（包括186cm）的事件为：

（178，186）（178，191），（181，186），（181，191），（182，186），（182，191），

（184，186），（184，191），（186，191），共有9个； ………..10分

则至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为
． ………..12分

19. (Ⅰ)由已知
,

设

，所以
，

,
,
。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)由
,

在平面
内作
,

,

,

且
由三角形的等面积法的

.



12分

20.解：（1）
，

所以
为线段
的垂直平分线，

所以动点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，…………3分

且长轴长为
，焦距
，所以
，

，

曲线E的方程为
．…………………..5分

（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由
， 消去y得

……………7分

………….10分

………………………….12分

21. 解：（Ⅰ）
，
，

-------------------------------------------------------------------------------------------------------1分

，解得
，
（舍）----------------------------------2分













0

+





减

极小值

增




当
时，
取得极小值，
极小值=
--------------------------------------------5分

（Ⅱ）若函数
和
存在隔离直线
，则
，由（1）知
当
时，
取得极小值0.

，点
在
上.-------------------------------------------------6分

，
，即
在
上恒成立.

，
.----------------------------------8分

代入

得，
=
.------------------------------------------9分

，即
在
上恒成立.即
在
上恒成立.

令

，
，易知当
时
递增，当
时
递减，当
时，
在
取最大值,-----------------------------------------------11分

，即
在
上恒成立.-----------------------13分

综上所述：函数
和
存在隔离直线
=
.------------------------------------12分

22.解：(Ⅰ)因为
为切线，
为割线，

所以
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，

所以
∽
，

所以
，又因为
，

所以
，所以
． ……………………5分

(Ⅱ)由题意可得：
四点共圆，

.

∽
.

.又

，

=4. ………………10分

23. （Ⅰ）曲线
的直角坐标方程为
． ………..2分

将
代入上式并整理得
．

解得
．∴点
的坐标为
． ………..4分

其极坐标为
………5分

（Ⅱ）设直线
的方程为
． ………..7分

由（Ⅰ）得曲线
是以
为圆心的圆，且圆心到直线
的距离为
．

则，
．解得
，或
．

直线
的方程为
，或
． ………..9分

其极坐标方程为ρsinθ＝ ，或θ＝(ρ∈R)．……………………10分

24.（本题满分10分）

（I）当
时，要使函数
有意义，

则

①当
时，原不等式可化为
，即
；

②当
时，原不等式可化为
，即
，显然不成立；

③当
时，原不等式可化为
，即
.

综上所求函数的定义域为
…….….…….………….…5分

（II）函数
的定义域为
，则
恒成立，即
恒成立，构造函数
=
，求得函数的最小值为3，所以
.…….……….…….………10分