辽师附中高三年级第三次模拟考试数学试卷（理）

高三数学备课组 2013.5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共60分）和非选择题（共90分）两部分

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数
（ ）

A
B
C

D

2.已知集合A={
}，B={
}，则A∩B=( )

A {-1，0} B {0，1} C {0} D 1

3. 已知直线

平面
，直线
∥平面
，

则“
”是“
”的 ( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既非充分也非必要条件

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A
B
C
D

5. 把函数
的图象向左平移
个单位，

再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不

变）所得的图象解析式为
，则 （ ）

A
B

C
D

6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可

输入的实数
值的个数为( )

A 1 B 2 C 3 D 4

7.已知x,y满足条件
（k为常数），若目标函数
的最大值为8，则k= ( )

A
B
C
D 6

8.从男女共有36名的大学生中任选2名去考“村官”，任何人都有同样的当选机会，若选出的同性大学生的概率为
，则男女生相差（ ）名

A 1 B 3 C 6 D 10

9. 已知数列
是等比数列，且
，则
( )

A
B

C
D

10. 已知F是椭圆C
的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
，则C的离心率为

( )

A
B
C
D

11. 已知函数
的图象关于直线
对称，且当
时，

成立，若a=（20.2）·

,则a,b,c的大小关系是 （ ）

A
B

C
D

12. 如图，边长为1的正方形
的顶点
,
分别在
轴、
轴正半轴上移动，则
的最大值是（ ）

A
B
C
D 4

第二部分（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.已
知
为等差数列，若
.

14.设
的展开式中的常数项为
，则直线
与曲线
围成图形的面积为 .

15．在四面体
中，已知
，
，
，则四面体
的外接球的半径为 ．

16. 给出下列四个命题：

①命题“
”的否定是：“
”；

②若
，则
的最大值为4；

③定义在R上的
满足
，则
为奇函数；

④已知随机变量
服从正态分布
，则
；其中真命题的序号是 (请把所有真命题的序号都
填上)．

三、解答题（将正确答案书写在答题纸的相应位置上）

17. （本小题满分12分）（本题满分12分）已知向量
，

（Ⅰ）若
，求
;

（Ⅱ）设
的三边
满足
，且边
所对应的角为
，若关于
的方程
有且仅有一个实数根，求
的值.

18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与

平面FCB所成二面角的平面角为
≤90o），

试求cos
的取值范围。

19. （本小题满分12分）已知盒中有大小相同的 4

个红球 t 个白球，从盒中一次性取出2个球，取到白球个数的期望为
. 若每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X.

(1)若取到红球再放回，求X不大于2的概率；

(2)若取出的红球不放回，求X的概率分布与数学期望．

20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，短轴长为4
.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
.

①求四边形APBQ面积的最大值；

②设直线PA的斜率为
，直线PB的斜率为
，

判断
+
的值是否为常数，并说明理由．

21. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝
x2－2xsin2
和函数g(x)＝ln x，记F(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)当
＝ 时，若f(x)在[1,2]上的最大值是f(2)，求实数
的取值范围；

(2)当
＝1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；

(3)对任意的
∈
，若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实
的取值范围．

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A

点，CD是∠ACB的平分线且交AE于点F，交AB于

点D．

（1）求∠ADF的度数；

（2）若AB＝AC，求
的值．

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
（a＞0），已知过点P（－2，－4）的直线L的参数方程为：
，直线L与曲线C分别交于M，N．

⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；

⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

(Ⅰ)若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围。

高三数学答题纸（理科）

二.（每题5分，共20分）

13. 14.

15. 16.

三．（共70分）

17. (12分)

18．(12分)

19. (12分)

20. (12分)

21.(12分)

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答(10分)

我所做的题是





辽师附中高三年级第三次模拟数学试卷（理）

一、选择题 DBABC CBCCD DA

二、填空题 13. 27 14.
15．
16. ①③④

17. 解：（Ⅰ）

……………2分

由于
，
，

……………6分

（Ⅱ）由余弦定理：
,

…………8分

当
或
时，直线
和
有一个交点。

则
……………12分

18.（1）证明：在梯形ABCD中，

过C作CE//AD,
中，

又

，

………2分

因为：平面ACFE
平面ABCD, 平面ACFE∩平面ABCD=AC,

BC
平面ABCD

所以，BC
平面ACFE ……………………………4分

（2）由（1）可以分别以直线CA,CB,CF为
轴建立

空间直角坐标系，令FM=
，则C(0,0，0),A(
,B(0，1，0),M(

,设
为平面MAB的一个法向量，

由
得：
取
则

而平面FCB的法向量可取

…………………8分

由

，
当
时，
有最小值

当
时，
有最大值
，
cos
的取值范围为[
,
]…………………12分

19. 解：从盒中一次性取出2个球，取到白球个数的分布列是超几何分布，所以期望为
，所以
，即盒中有 4个红球，3 个白球． ┅┅┅┅┅┅┅2分

(1)∵P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝. ┅┅┅┅┅┅┅6分

(2)∵X可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝. ┅┅┅┅┅┅┅8分

∴X的概率分布列为：

X

1

2

3

4

5



P















∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.

即X的数学期望是2. ┅┅┅┅┅┅┅12分

20. 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
.

由已知b=
离心率
,得

所以，椭圆C的方程为
. …………4分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为
，
，

则
， 设A
B(
),直线AB的方程为
，代人

得：
.由△>0,解得
，由根与系数的关系得

……………6分

四边形APBQ的面积

故当
…② ………………8分

由题意知，直线PA的斜率
，直线PB的斜率

则
…………………10分

=

=
，由①知

可得

所以
的值为常数0. ………………………12分

21. 解：(1)α＝时，f(x)＝ax2－x.

①当a＝0时，f(x)＝－x，不合题意；

②当a<0时，f(x)＝ax2－x在上递增，