高三数学试题（文科）

命题：杨悦 校对：王立

一.选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x | 1＜x≤3}，B＝{x | x＞2}，则A∩CUB

等于（ ）

A．{x | 1＜x≤2} B．{x | 1≤x＜2}

C．{x | 1≤x≤2} D．{x | 1≤x≤3}

若复数（a2 －l）+（a －1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数

a=（ ）

A．±1 B．－1 C．0 D．1

3．设点
是线段BC的中点，点A在直线BC外，
,

,则
（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．直线
与圆
相切, 则m等于( )

A．
B．
C．
D．

5.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正 三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

给出命题p：直线

互相平行的充要条件是
；

命题q：若平面
内不共线的三点到平面
的距离相等，则
∥
.

对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）

A. 命题“p且q”为真 B. 命题“p或q”为假

C. 命题“p且┓q”为假 D. 命题“p且┓q”为真

7．函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.将函数
的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )

A．
B．

C.
D.

9.对任意非零实数
，定义
的算

法原理如上右程序框图所示。设
为函数

的最大值，
为双曲线

的离心率，则计算机执行该运

算后输出结果是( )

A．
B．

C.
D.

10.已知A=
，若
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C.
D.

11.设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C.
D.

12．若函数f（x）=x3－bx2+1有且仅有两个不同零点， 则b的值为（ ）

A．
B．
C．
D．不确定

二.填空题：(本题共4小题，每小题5分,共20分.)

13.考察下列一组等式：

；…， 根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于正整数
的等式，这个等

式可以表示为 。

14．已知函数
，其中实数
随机选自区间[-2,1]，则对
，都有
恒成立的概率是 .

15、已知
，则
的值是 .

16．设抛物线
的焦点为F，经过点P（2，1）的直线
与抛物线相交于A，B两点，又点P恰为AB的中点， 则|
|+|
|= .

三.解答题：

17．（本小题满分12分）

在△
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边，且
。

（1）求角
的大小；

（2）若
，
，求△
的面积。

18．（本小题满分12分）

男



女



9

9 8

8 6 5 0

7 4 2 1

1

15

16

17

18

19

7 7 8 9 9

1 2 4 5 8 9

2 3 4 5 6

0 1



第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁

沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名

男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者

的身高编成如右所示的茎叶图（单位：㎝），身

高在175㎝以上（包括175㎝）定义为“高个子”,

身高在175㎝以下（不包括175㎝）定义为

“非高个子”，且只有“女高个子”才担任

“礼仪小姐”．

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率？

（II）若从身高180㎝以上（包括180㎝）的志愿者中选出男女各一人，求这两人身高相差5㎝以上的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是 等边三角形，已知AD=4，BD =4
，AB=2CD=8．

（Ⅰ）设
是PC上的一点，

证明：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）当
点位于线段PC什么位置时，

PA∥平面
？

（Ⅲ）求四棱锥P－ABCD的体积．

20.（本小题满分12分）

设椭圆
：
(
)的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，且内切于圆
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）若直线
交椭圆于
、
两点，椭圆上一点
，

求△
面积的最大值。

21.（本小题满分12分）

已知函数：

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若对于任意的
，若函数
在 区间
上有最值，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答（本小题满分10分）

22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）

如图，
是圆
的直径，
是弦，

的平分线
交圆
于点
，
，

交
的
延长线于点
，
交
于点

.

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，求
的值.

23.选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线
过点
且倾斜角为
，以坐标原点为极点，

轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
与曲线
相交于
两点；

（1）若
，求直线
的倾斜角
的取值范围；

（2）求弦
最短时直线
的参数方程.

24.选修4－5：不等式选讲（本题满分10分）

设
，函数
，证明：

高三数学答题纸（文科）

二.（每题5分，共20分）

13. 14.

15. 16.

三．（共70分）

17. (12分)

18．(12分)

19. (12分)

20. (12分)

21.(12分)

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答(10分)

我所做的题是





高三数学试题（文科）答案

一．ABACA DBBBC BC

二．13.
14.

15.
16. 8

三．

17、解：（1）

∴

∴

∴
…………………………5分

（2）∵

∴

∴

∴
…………10分

18.解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分 层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
，

所以选中的“高个子”有
人，

“非高个
子”有
人． …………3分

高个子用A和B表示，非高个子用a,b,c表示，则抽出两人的情况有：

（A,B）,(A,a),(A,b),(A,c), (B,a),(B,b),(B,c), (a,b),(a,c), (b,c),共10种，

至少有一名“高个子”被选中有（A,B）,(A,a),(A,b),(A,c), (B,a),(B,b),(B,c),共7种，用事件
表示“至少有一名“高个子”被选中”，　则

因此,至少有一人是“高个子”的概率是
． …………7分

（Ⅱ）抽出的两人身高用（男身高，女身高）表示，则有（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），（184，180），（184，181），（187，180），(187，181)，（191，180），（191，181），共10种情况，身高相差5cm以上的：（187，180），(187，181)，（191，180），（191，181）共4种，用事件
表示“身高相差5cm以上”，则
……………12分

证明：

（Ⅰ）在
中，∵
，
，
，∴
．

∴
． …………………2分

又 ∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，∴
平面
．

又
平面
，

∴平面
平面
． ………………….4分

（Ⅱ）当
点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，
平面
．

证明如下：连接AC，交
于点N，连接MN．

∵
，所以四边形
是梯形．

∵
，∴
．

又 ∵
，∴

，∴
MN，

∵
平面
，

∴
平面
， ……………………8分

（Ⅲ）过
作
交
于
，

∵平面
平面
，∴
平面
．即
为四棱锥
的高． ……………………………10分

又 ∵
是边长为4的等边三角形，∴
.

在
中，斜边
边上的高为
，此即为梯形
的高．

∴梯形
的面积
．

故
． …………12分

20、解：（1）双曲线的离心率为
，则椭圆的离心率为
……………2分

得：


所求椭圆M的方程为
． ……………………………6分

(2 ) 直线
的直线方程：
.

由
，得
，

由
，得
………………………………8分

∵
，
.

∴

…………………9分

又
到
的距离为
. 则

当且仅当

∴
．　　…………………………12分

解：（1）由已知得
的定义域为
，

且
， …………2分

当
时，
的单调增区间为
，减区间为
；

当
时，
的单调增区间为
，无减区间； ……6分

（2）

在区间
上有最值，

在区间
上总不是单调函数，

又
…………………………9

由题意知：对任意
恒成立，

因为

对任意
，
恒成立

∴
∵
∴

………………………………12分

22.（1）连接
，可得
，∴
，又
，∴
，又
为半径，∴
是圆
的切线（5分）

（2）过
作
于点
，连接
，则有
，
。设
，则
，∴
，由
可得
，又由，可得
。（10分）

24．∵
，（2分）

∴
，

即
（10分）