高三下学期综合适应训练（六）数学试题

参考公式：

如果事件A、B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);如果事件A、B独立,那么P(A∩B)=P(A)
P(B).

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:
(k)=

(
=0,1,2,…,
).

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数
为纯虚数（
为虚数单位），则实数
的值是（ ）

A．
B．
或
C．
或
D．

2. 若奇函数f（x）的定义域为R，则有（　）

A．f（x）＞f（-x）　 B．f（x）≤f（-x）

C．f（x）·f（-x）≤０ D．f（x）·f（-x）＞０

3. 函数y＝sinx|cotx|（0＜x＜??）的图像的大致形状是（　）

4. 如图，正三棱柱ABC-
的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为

A.
B. 4 C.
D.

5. 函数
的图象如图所示，其中
,
，
．

则下列关于函数
的说法中正确的是（ ）

A．对称轴方程是

B．

C．最小正周期是

D．在区间
上单调递减

6. 如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A. 11种 B. 20种 第6题图

C. 21种 D. 12种

8. 已知命题p：函数((x)=|x―a|在(1,+∞)上是增函数，命题q：((x)=ax (a>0且a≠1)是减函数，则

p是q的

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

9. 已知等差数列
前
项和为
,若
,则使
取最值时
的值为( )

A. 1005 B. 1006 C. 1007 D. 1006或1007

10. 偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)=
，在x∈[0，4]上解的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，则z=2x+y的最大值

A. 6 B. 5 C. 4 D. -3

12. 在平行四边形ABCD中，
，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足
（
），则当点P在以A为圆心，
为半径的圆上时，实数
应满足关系式为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.

13. 随机变量ξ服从正态分布N(40,
)，若P(ξ<30)=0.2，则P(30<ξ<50)= .

14. 一个几何体的三视图如右图所示,若图中圆半径为1,等腰三角形腰长

为3,则该几何体的表面积为 .

15. 已知正方体ABCD－
，则该正方体的体积、四棱锥
-ABCD

的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．

16. 下列四种说法中正确的是 .

① “若
<
,则a

② 线性回归方程对应的直线
一定经过其样本数据点

，…，
中的一个点；

③ 若实数x,y∈[0.1],则满足：
＞1的概率为
；

④ 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=

1
3…(2n-1)(n∈N*)时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2(2k+1).

三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知
是
的三个内角，且满足
，设
的最大值为
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）当
时，求
的值．

18. （本小题满分12分） 设
，方程
有唯一解，已知

，且
.

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，且

，求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分12分）

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：

（1） 得60分的概率；

（2） 所得分数ξ的分布列和数学期望.

21. （本小题满分12分）

如图，已知抛物线
：
和⊙
：
，过抛物线
上一点

作两条直线与⊙
相切于
、
两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点
到抛物线准线的距离为
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）当
的角平分线垂直
轴时，

求直线
的斜率；

（Ⅲ）若直线
在
轴上的截距为
，求
的最小值．

22. （本小题满分14分）

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.

（1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；

（2） 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（3） 当a=-1时，试推断方程
=
是否有实数解.

数学参考答案

一、 选择题

1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. C 7. D 8. A 9. D 10. D 11. B 12. D

二、 填空题

13. 0.6 14.
15. 6∶2∶
16. ④

三、 解答题

18. （本小题满分12分）

(Ⅰ)
变形为
或


的解为

解得：


…………………2分

即为

……………………4分

……………………6分

（Ⅱ）
…………………7分

…………………10分

…………… …………12分

19．【解】(Ⅰ)由题知
,
,

所以
为正三角形,所以
,………………1分

又因为
,且

所以
为正三角形,………………………2分

又平行四边形
的对角线相交于点
,所以
为
的中点,

所以
…………………………3分

又平面
平面
,且平面
平面

,…………4分]

且
平面
………………………………5分

所以
平面
…………………………6分

(Ⅱ)〖解法一〗连结
交
于
,取
中点
,连结
,
,

则
,又
平面

所以
平面
,
,……7分

所以直线
与平面
所成角为
.…………8分

而在等边
中,
,所以
,
,

同理可知,
,

在
中,
………………10分

所以
中,
,
.

所以
与平面
所成角的正弦值为
.……………12分

20. 解：（1） 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，

∴P（A）=
，P（B）=
，P（C）=
，∴得60分的概率为p=
．………………………………………………4分

（2） ξ可能的取值为40，45，50，55，60………………………………5分

P（ξ=40）=
；……………………………………6分

P（ξ=45）=

…………………………………………………………………………7分

P（ξ=50）=

；…………………………………………8分

P（ξ=55）=

……9分

P（ξ=60）=
[

ξ

40

45

50

55

60



P(ξ)













…………………………………………………………………………10分

（3）Eξ=40×
+（45+50）×
+55×
+60×
=
………12分

21. 解：（Ⅰ）∵点
到抛物线准线的距离为

，

∴
，即抛物线
的方程为
． 2分

（Ⅱ）法一：∵当
的角平分线垂直
轴时，点
，∴
，

设
，
，

∴
，∴
，

∴
. 5分

． 7分

（Ⅲ）法一：设
，∵
，∴
，

可得，直线
的方程为
，

同理，直线
的方程为
，

∴
，

， 9分

∴直线
的方程为
，

令
，可得
，

∵
关于
的函数在
单调递增，

∴
． 12分

22. 解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
……………………1分

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…………3分

=f（1）=-1…………………………………………………………4分

(2) ∵f′(x)=a+
，x∈(0,e］，
∈
………………………………5分

① 若a≥
，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数

∴
=f（e）=ae+1≥0.不合题意…………………………………6分

② 若a<
，则由f′(x)>0
>0，即0

由f(x)<0
<0，即

从而f(x)在
上增函数,在
为减函数

∴
=f
=-1+ln
………………………………………8分

令-1+ln
=-3，则ln
=-2

∴
=
，即a=
. ∵
<
,∴a=
为所求……………9分

(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时
=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1……………………………………………………………10分

又令g（x）=
,g′（x）=
,令g′(x)=0，得x=e,

当00,g(x) 在(0,e