湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．设非空集合P、Q满足
，则（ ）

A．
B．
，有

C．
，使得
D．
，使得

2．已知
，其中
是实数，
是虚数单位，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设随机变量
服从正态分布N (3，7)，若
，则a =（ ）A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知集合
，
，且
，则

A．
B．
C．
D．

5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）




正视图 侧视图



俯视图

（第5题图） （第6题图）

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+

6．如右上图，已知
为如图所示的程序框图输出的结果，二项式
的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件
为“x +y为偶数”， 事件
为“x ，y中有偶数且“
”，则概率
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．正项等比数列
中，存在两项
使得
，且
，则
的

最小值是( )

A．
B．2 C．
D．

9．设
满足约束条件
，若
恒成立，则实数
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
是偶函数，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的解的个数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题
分，共
分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．

11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．

12．已知函数
(
)的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为 ．

13．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，

3中指，4无名指，5小指，6无名指，
，一直数到2013时，

对应的指头是 (填指头的名称)．

14．设
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆上任意一点，当

取最大值时的余弦值为
．则（Ⅰ）椭圆的离心率为 ；

（Ⅱ）若椭圆上存在一点
,使
(
为坐标原点)，且
,则
的值为 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图,在△ABC中,AB＝AC,
72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切

于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝
,则
．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线
的极坐标方程分别为
，

，则曲线
与
交点的极坐标为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）设角
是
的三个内角,已知向量
，
,且
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若向量
,试求
的取值范围.

18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为
，不堵车的概率为
；校车走公路②堵车的概率为
，不堵车的概率为
．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为
，求走公路②堵车的概率；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数
的分布列和数学期望．学

19．（本题满分12分）如图，
为矩形，
为梯形，平面

平面
，

，
.

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求平面
与
所成锐二面角的大小．

20．（本题满分12分）已知正项数列{an} 的前
项和
，
．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）定理：若函数
在区间D上是下凸函数，且
存在，则当

时，总有
．请根据上述定理，且已知函数
是

上的下凸函数，证明：bn ≥ ．

21．（本题满分13分）抛物线
:
上一点
到抛物线
的焦点的距离为
，
为抛物线的四个不同的点，其中
、
关于y轴对称，
，
，
，
，直线
平行于抛物线
的以
为切点的切线．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：
；

（Ⅲ）
到直线
、
的距离分别为
、
，且
，
的面积为48，求直线
的方程．

22．（本题满分14分）已知函数
在
处的切线的斜率为1．

（
为无理数，
）

（Ⅰ）求
的值及
的最小值；

（Ⅱ）当
时，
，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：

．（参考数据：
）

数学（理）试卷答案及解析

选择填空：BDCBA BBACB

11．20 12．
13．小指 14．
，
15．2 16．

1．【解析】
故选B．

2．【解析】
故选D．

3．【解析】由题意知对称轴为
，故选C．

4．【解析】
故选B．

5．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
，所以该几何体的体积为
．故选A．

6．【解析】由程序框图得
，通项公式
，
的最小值为为5． 故选B．

7．【解析】
故选B．

8．【解析】
，
，解得
，

由
得
，

（当
取等），故选A．

9．【解析】作出可行域，由
恒成立知

令
，由图可知，当直线
与椭圆
相切时，
最小，消
得：
得
∴
．故选C．

10．【解析】由题意可得
，
函数的周期是4， 可将问题转化为

与
在区间
有几个交点． 如图：由图知，有9个交点．选B．

11．【解析】
．

12．【解析】
，
，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝
[0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∴a＝
．

13．【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．

14．【解析】设
分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）当点
位于短轴端点时，
最大，
得
或设

，
；

（Ⅱ）取
中点
，由
得

设

得，

，

15．【解析】由已知得
，
，解得
．

16．【解析】由
解得
，即两曲线的交点为
．

17．【解答】(Ⅰ)由题意得
，

即
，由正弦定理得
，

再由余弦定理得
，
.

(Ⅱ)
，

，

，

，

所以
，故
.

18．【解答】（Ⅰ）由已知条件得
， 即
，则
．

（Ⅱ）解：
可能的取值为0，1，2，3．

；
；

；

的分布列为：

0

1

2

3

















所以

．

19．【解答】（Ⅰ）证明：连结
，交
与
，连结
，

在
中，
分别为两腰
的中点， ∴
，