江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷

命题：江苏省常州高级中学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1． 已知数集
中有3个元素，则实数
不能取的值构成的集合为 ．

2． 已知x是实数，是纯虚数，则x的值是 ．

3． 已知函数
在
处的导数为
，则实数
的值是 ．

4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》

(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：

根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ．

5． 若不等式
对于一切正数
恒成立，则实数
的最小值为 ．

6．在平面直角坐标系xOy中，“直线
，
与曲线
相切”的充要条件

是“ ”．

7． 如图，
表示第i个学生的学号，
表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ．

8． 在△ABC中，若

，则
．

9．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则
的最大值为 ．

10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ．

11．已知平面向量
，
，
满足
，
，
，
的夹角等

于
，且
，则
的取值范围是 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，过点
、
分别作x轴的垂线与抛物线
分别交于点
，直线
与 x轴交于点
，这样就称
确定了
．同样，可由
确定
，…，若
，
，则
．

13．定义：
{x，y}为实数x，y中较小的数．已知
，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 ．

14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆
上， 其中
为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为
，则实数
的值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知△ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且
．

（1）求角
的大小； （2）求△ABC面积的最大值．

16．如图，在四面体ABCD中，
，点E是BC

的中点，点F在线段AC上，且
．

（1）若EF∥平面ABD，求实数
的值；

（2）求证：平面BCD⊥平面AED．

17．如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层
转动
，如图乙，设
的对边长为
．

（1）试用
表示
；

（2）求魔方增加的表面积的最大值．

18.如图，在平面直角坐标系
中．椭圆
的右焦点为
，右准线为
．

（1）过点
作直线交椭圆
于点
，又直线
交
于点
,若
，求线段
的长；

（2）已知点
的坐标为
，直线
交直线
于点
，且和椭圆
的一个交点为点
，是否存在实数
，使得
，若存在，求出实数
；若不存在，请说明理由．

19．已知函数
,
,其中
为常数,且函数
和
的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．

(1)求此平行线间的距离；

(2)若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围；

(3)对于函数
和
公共定义域中的任意实数
，我们把
的值称为两函数在
处的偏差.求证:函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

.资.源.网

20．已知数列
满足
，
．

(1)求数列
的通项公式
；

(2)若对每一个正整数
，若将
按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为
.

①求
的值及对应的数列
．

②记
为数列
的前
项和，问是否存在
,使得
对任意正整数
恒成立?若存在,求出
的最大值；若不存在,请说明理由．

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（几何证明选讲）

如图，已知
切圆
于点
，
交圆
于
，
两点，

点
是
的中点．求证：

．

B．（矩阵与变换）

将曲线
：
绕坐标原点逆时针旋转
后，得到的曲线
,求曲线
的方程．

C．（极坐标与参数方程）

在平面直角坐标系xOy中，求直线
（t为参数）被圆
（
为参数）截得的弦长．

D．（不等式选讲）

已知x，y，z均为正数．求证：
．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．考察
二数，满足不等式
．于是
．

一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题：

若
且

．

试用数学归纳法证明上述命题．

23．某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10％．现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡．设计了如下方案：按n（
且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验．记
为某一组中病鸡的只数．

（1）若n
，求随机变量
的概率分布和数学期望；

（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小．

参考答案

； 2. 1 ； 3. 2； 4. 0.09； 5.
； 6.
； 7.
； 8.
；9.
； 10.
；11.
； 12.
；

13.
；14. 3．

答案解析

10. 法1 设正四棱锥的底面边长为
，则体积
，记
，
，利用导数可求得当
时，
，此时
；

法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为
，则
，
，记
，利用导数可求得当
时，
，此时
；

11. 如图，设
△ABC中，由余弦定理得
，

由
知，点
的轨迹是以
为直径的圆
，

且
，故
；

12. 设
、
，则割线

的方程为：
，

令
得
，即
，不难得到
；

13. 易得
，所以
（当且仅当
时取等号）；

14. 设AB的方程为：
，则AC的方程为：
，由
得

，解得
用“
”替换“
”得

故

所以
，

令
，则
（当且仅当
时等号成立），

由
得
解得
或
（舍去），所以
．

15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解

能力．

（1）由
得
，

所以
，（4分）

故△ABC 中，
，
（6分）

（2）由正弦定理得
，即
，（8分）

由余弦定理得
，即
，（10分）

由
得
，（当且仅当
时取等号）（12分）

所以
.（14分）

16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．

解：（1）因为EF∥平面ABD，易得
平面ABC，

平面ABC
平面ABD
，

所以
，（5分）

又点E是BC的中点，点F在线段AC上，

所以点F为AC的中点，

由
得
；（7分）

（2）因为
，点E是BC的中点，

所以
，
，（9分）

又
，
平面AED，

所以
平面AED，（12分）

而
平面BCD，

所以平面BCD⊥平面AED．（14分）

17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．

解：（1）由题意得
，

解得
，（6分）

（2）魔方增加的表面积为
，

由（1）得
，（10分）

令
，

则
（当且仅当
即
时等号成立），

答：当
时，魔方增加的表面积最大为
．（15分）

18.解：

（1）由题意可知
，

故将
代入
，

可得
，从而
． ……………6分

（2）假设存在实数
满足题意．

由已知得
①

②

椭圆C：
③

由①②解得
，
．

由①③解得
，
． ………………………12分

∴
，

．

故可得
满足题意． ………………………16分

19．（本题满分16分）

解：（Ⅰ）
，
，
的图像与坐标轴的交点为
，
的图像与坐标轴的交点为
，由题意得
，即

又∵
，∴
。

∴
，
，∴函数
和
的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：
,
∴两平行切线间的距离为
。

（Ⅱ）由
得
，故
在
有解，

令
，则
。

当
时，
；

当
时，∵
，∵
，

∴
，∴

故

即
在区间
上单调递减，故
，∴

即实数m的取值范围为
。

（Ⅲ）解法一：

∵函数
和
的偏差为：
，

∴
，设
为
的解，则当
，
；

当
，
，∴
在
单调递减，在
单调递增

∴

∵
，
，∴

故

即函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

解法二：

由于函数
和
的偏差：
，

令
，
；令
，

∵
，
，∴
在
单调递增，
在
单调递减，在
单调递增

∴
，
，∴

即函数
和
在其其公共定义域内的所有偏差都大于2

20．（本题满分16分）

解:(Ⅰ)因为
,所以
时,
,两式相减,得
,故数列
从第二项起是公比为
的等比数列……………3分

又当n=1时,
,解得
,从而
…………5分

(2)①由(1)得
,

[1]若
为等差中项,则
,即
或
,解得
…6分

此时
,所以
……………8分

[2]若
为等差中项,则
,即
,此时无解…………………9分

[3]若
为等差中项,则
,即
或
,解得
,

此时
,所以
……11分

综上所述,
,
或
,
…………………12分

②[1]当
时,
,则由
,得
,

当
时,
,所以必定有
,所以不存在这样的最大正整数…………14分

[2]当
时,
,则由
,得
,因为
,所以
满足
恒成立；但当
时,存在
,使得
即
,

所以此时满足题意的最大正整数
………………………………16分

21．A．命题立意：本题主要考查圆的有关知识，考查推理论证能力．

解：连结
，

由
切圆
于点
，
是
的中点得
，（5分）

故
四点共圆，（8分）

则
．（10分）

B．命题立意：本题主要考查矩阵的变换，考查运算求解能力．

解：设
上的任意点
在变换矩阵M作用下为
，

则
，（5分）

即
（8分）

代入
得
．（10分）

C．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．

解：将直线与圆的参数方程化为普通方程得
与
，（6分）

则圆心
到直线
的距离为
，（8分）

所以直线被圆截得的弦长为
．（10分）

D．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．

证明：因为x，y，z均为正数，所以
，（4分）

同理得
（当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立），（6分）