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2013年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

(银川一中第三次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U=R，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A，函数y=
的值域为集合B，则A∩(C
B)=( )

A．[1,2] B．[1,2) C．(1,2] D．(1,2)

2．已知sinθ=
，且sinθ-cosθ>1，则sin2θ=( )

A． -
B．-
C．-
D．

3．已知等差数列
满足
则有( )

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则下列结论不正确的是( )

A．a2

C．
D．|a|+|b|>|a+b|

5. 下图给出了下一个算法流程图，该算法

流程图的功能是( )

A．求a,b,c三数的最大数

B．求a,b,c三数的最小数

C．将a,b,c按从小到大排列

D．将a,b,c按从大到小排列

6. 已知函数
=( )

A．32 B．16

C．
D．

7. 若命题“p
q”为假，且“
p”为假，则( )

A．p或q为假 B．q假 C．q真 D．不能判断q的真假

8．已知正四棱锥的各棱棱长都为
，则正四棱锥的外接球的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

9．函数y=sinxcosx+
的图象的一个对称中心是( )

A

B

C

D

10．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：

棉农甲

68

72

70

69

71



棉农乙

69

71

68

68

69





则平均产量较高与产量较稳定的分别是( )

A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙

C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙

11. 已知函数
，集合
，

集合
，则集合
的面积是( )

A．
B．
C．
D．

12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，

，且
，则不等式
的解集是( ）

A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13
椭圆
的离心率为
，则k的值为________.

14. 已知函数
是奇函数，则实数a的值________.

15. 已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为
cr、
ar、
br，由S=
cr+
ar+
br得r=
，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积分别为A、B、C、D，则内切球的半径R=_____________.

16. 若数列
满足
，则该数列的前2013项的乘积______.

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. (本小题满分12分)

如图，A、B是海面上位于东西方向相距
海里

的两个观测点。现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号。位于B点南偏西60°

且与B相距20
海里的C点的救援船立即前往营救，

其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的

时间和航行方向。

18．(本小题满分12分)

已知函数
=

（1）若-2
，且a
，求方程
=0无实根的概率

（2）若

，求方程
=
b
+b-
无实根的概率.

19. (本小题满分12分)

已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC，

EB⊥平面ABC，DC=2,ΔABC是边长为2的正三角形，F是

AD中点.

(1)当BE等于多少时，EF∥平面ABC；

(2)当EF∥平面ABC时，求证CF
EF.

20. (本小题满分12分)

曲线C上任一点到定点(0，
)的距离等于它到定直线
的距离.

(1)求曲线C的方程；

(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线

分别交曲线C于A、B两点，且
⊥
，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.

21. (本小题满分12分)

(1)
,求证：若
,则
.

(2)求
在[1,2]上的最大值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲．

如图：AD是ΔABC的角平分线，以AD为弦的

圆与BC相切于D点，与AB、AC交于E、F.

求证：AE·CF=BE·AF

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．

(1)求点M（2，
）到直线ρ=
上点A的距离的最小值。

(2)求曲线
关于直线y=1对称的曲线的参数方程

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

已知：

，求证：
.

银川一中2013届高三第三次模拟数学(文科)试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

C

D

B

C

B

B

B

B

C

D





二、填空题：

13． 4或
　　　14. 1　　　15.
　　16. 2

三、解答题：

17．解：AB=
，∠D=105°，sinD=sin(60°+45°)=

由

得BD=
…………4分

在ΔDCB中，BC=20
，∠DBC=60°

CD=

∴救援船到达D的时间为
小时…………8分

由
得

∠DCB=30°

∴救援船的航行方向是北偏东30°的方向。…………12分

18．（本小题满分12分）解析：（1）满足条件的不等式共有49个…………1分

不等式解集为R的条件是
＜0…………2分

a=-2时b=2，3，4

a=-1时b=1，2，3，4

a=0时b=1，2，3，4

a=1时b=1，2，3，4

a=2时b=2，3，4

a=3时b=3，4

所以满足等式
＞0的解集为R的不等式有20个…………5分

故等式
＞0的解集为R的概率是
…………6分

(2)
满足条件

，其构成的区域面积为4…………8分

=
b
+b-
无实根的条件是a
+ b
＜1，其构成的区域面积为
…………11分

故
=
b
+b-
无实根的概率为P=
…………12分

19．解：(1)取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE

当BE=1时，有FG=BE，即BEFG为平行四边形

故当BE=1时，EF∥BG，即EF∥平面ABC ………6分

(2).证明：由DC⊥平面ABC得DC⊥BG

G是正三角形ABC的边AC的中点

BG⊥AC

BG⊥平面ACD

BG⊥CF

又
EF∥BG

EF⊥CF

20．解：(1)y=2x2

设
：y-2=k(x-1)(k≠0)
:y-2=

由
得2x2-kx+k-2=0

A点坐标为

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+

M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为
，此抛物线可看成是由抛物线
左移
个单位，上移
个单位得到的，而抛物线
的焦点为(0，
)，准线为y=-
.∴所求的定点为
，定直线方程为y=
.

21. 解：(1)方法一：设B(m,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数y=ln(x+1)图象上两点

而f(m),f(n)分别B、A两点与原点连线的斜率，

显然kOA>kOB

即f(m)

方法二：

令

∴
是减函数

由x>0得，h(x)

∴

∴f(x)是减函数

由m>n>0可得f(m)

(2)

令
得2ax2=1 ……………①

当a≤0时，
，
在[1,2]上为增函数

∴最大值为g(2)

当a>0时，由①得

若
≥2即0

∴最大值为g(2)

若
≤1即a≥
时，
≤0，
在[1,2]上为减函数

∴最大值为g(1),

若1<
<2即

在(1，
)上为增函数，在(
，2)上为减函数

∴最大值为

综上得：a≤
时，最大值为ln2-4a

a≥
时，最大值为-a

22.解：连结ED ∵圆与BC切于D，∴∠BDE=∠BAD

∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC

又∠DAC=∠DEF ∴∠BDE=∠DEF ∴EF//BC ∴
即AE·CF=BE·AF

23.（1）解：M点的直角坐标为（1，
）………………………2分

直线的直角坐标方程为：x + y -
=0………………………4分

点M（1，
）到直线x + y -
=0上点A的距离的最小值为d

则

点M（2，
）到直线ρ=
上点A的距离的最小值为
……………6分

（2）
(写对一个给满分)………………………10分

24．证明：要使原不等式成立，只要：
………………………3分

只要：
………………………6分

只要：
由已知此不等式成立。………………………10分