齐齐哈尔市2013届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4. 作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷（选择题，共60分）

一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A＝{
R|
}，B＝{
R|
}，则A∩B等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.在复平面内，复数
满足
（
为虚数单位），则复数
所表示的点在?（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.下列说法正确的是 ?（ ）

A. 命题p：“
”，则(p是真命题

B.“
”是“
”的必要不充分条件

C. 命题“
使得
”的否定是：“

”

D. “
”是“
上为增函数”的充要条件

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

5.在一次“对学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的试验中，由
列联表算得
的观测值
，参照附表判断，在此次试验中，下列结论正确的是 （ ）

附表：

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”

B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”

C. 有99%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”

D. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”

6.执行右面的程序框图，如果输入
，则输出的
是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.数列
满足
，且

，

则
（ ）

A.
B.

C.
D.

8.在
中，
分别是角
的对边，且
,
，则
的面积等于 （ ）

A.
B.
C.
D. 10

9.某小学星期一每班都排6节课，上午4节、下午2节，若该校王老师在星期一这天要上3个班的课，每班l节，且不能连上3节课（第4节和第5节不算连上），那么王老师星期一这天课的排法共有 ? （ ）

A. 108种 B. 120种 C. 18种 D. 20种

10.已知椭圆

的半焦距为
，左焦点为
，右顶点为
，抛物线
与椭圆交于
两点，若四边形
是菱形，则椭圆的离心率是

（ ）

A.
B.
C.
D.

11.三棱锥S—ABC中，
，
，
与平面
所成角的余弦值是
，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是 （ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，

，设函数
，且函数
的零点均在区间
内，则
的最小值为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量
，
，若向量
与
垂直，则实数
等于 .

14. 已知双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，且一个焦点与抛物线
的焦点重合，则双曲线
的标准方程为 .

15.定义：
. 在区域
内任取一点
，则
，
满足
的概率为 .

16.设函数

，若数列
是单调递减数列，则实数
的取值范围为 .

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知
为锐角，且
，函数
.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）数列
的首项

，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

有关部门对甲、乙两家企业生产的产品进行检验，其中甲企业有5种产品，乙企业有3种产品。检验员从以上8种产品中每次抽取一种逐一不重复地进行检验.

（Ⅰ）求前4次检验的产品中至少有1种是乙企业的产品的概率；

（Ⅱ）记第一次检验到甲企业的产品时所检验的产品种数共为X，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o， 四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；

（Ⅱ）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB

所成的锐二面角为45o ，若存在，求出点M的位置；

若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
与双曲线
的离心率互为倒数，且直线
经过椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设不过原点
的直线
与椭圆
交于
两点 ，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求△
面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求实数
的值；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑.

22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

已知：⊙
为
的外接圆，直线
为⊙
的切线，切点为
，直线
∥
，交
于点
、交⊙
于点
，
为
上一点，且
.

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）点
、
、
、
共圆.

23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），将曲线
上所有点

的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的
倍，得到曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的普通方程；

（Ⅱ）已知点
，曲线
与
轴负半轴交于点
，
为曲线
上任意一点， 求

的最大值.

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数
.

（Ⅰ）若
，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若不等式
有解，求实数
的取值范围.

齐齐哈尔市2013年高三第三次模拟考试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）

13. 1 14.
15.
16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、解：（Ⅰ）记事件A为“ 前4次检验的产品中至少有1种是乙企业的产品”

∴ 前4次检验的产品中至少有1种是乙企业的产品的概率为
……4分

（Ⅱ) X的可能取值为1，2，3，4

，
，

，
， ……9分

X的分布列如下表：

X

1

2

3

4



P











 X的数学期望为：

……12分

19、（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，

∴
，
，

∴
，∴
……3分

又平面ACFE⊥平面ABCD，AC是交线，
平面ABCD

∴ BC⊥平面ACFE ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，分别以
为单位正交基底建立空间直角坐标系
，则
，
，设
，

则
，
， ……7分

设
是平面MAB的法向量，则

取
，得
， ……9分

显然
是平面FCB的一个法向量， ……10分

于是
，

化简得
，此方程无实数解，

∴ 线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为45o …12分

20、（Ⅰ）∵双曲线的离心率为
，所以椭圆的离心率
，

又∵直线
经过椭圆的右顶点，

∴右顶点为
，即
……2分

∴
∴椭圆方程为
……4分

21、解：（Ⅰ）函数
定义域为
，

∵
∴
． ……2分

经检验，
符合题意. ……4分

（Ⅱ）解法一：设

则问题可转化为当
时，
恒成立．

∴
，∴
……6分

由
得方程
有一负根
和一正根
，其中
不在函数定义域内且
在
上是减函数，在
上是增函数

即