山东省聊城市某重点高中2013届高三下学期高考模拟试题（四）

数学（文理）试题

时间：120分钟；满分：150分

第I卷

一．选择题（60分）

1．设等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2．已知幂函数
，当
时，恒有
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

3．设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：

① 若
则
②若
，
，则

③ 若
，则
④若
，则

其中真命题的序号是

A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③

4．直线
与不等式组
表示平面区域的公共点有

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

5．已知平面上的线段及点
，在上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段的距离，记作
．设是长为2的线段，点集
所表示图形的面积为

A.
B.
C.
D.

6.为虚数单位，则
＝（ ）

(A)
(B) (C)
(D)

7．已知
，则
=（ ）

(A)
(B) (C)
(D)

8．若
，
是两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）充要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

9.（文）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( )

(A)
　(B)

(C)
(D)

(理)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是

A．30 B．60

C．70 D．80

10．某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：

广告费用
(万元)

4

2

3

5



销售额
(万元)

49

26

39

54



根据上表可得回归方程
中的
为
，据此模型预报广告费用为
万元时销售额为( )

(A)
万元 (B)
万元

(C)
万元 (D)
万元

11．（文）函数
的一部分图象如图所示，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（理）将边长为
的等边三角形
沿
轴滚动，某时刻
与坐标原点重合（如图），设顶点
的轨迹方程是
，关于函数
的有下列说法：

①
的值域为
；

②
是周期函数；

③
；

④
.

其中正确的说法个数为:

A.0 B. C.
D.

12.已知
，
,若
为满足
的一随机整数，则
是直角三角形的概率为（ ）

（A）
　　（B）
　（C）
　 （D）

第II卷（非选择题）

二、填空题

13.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 .

14.观察下列各式：则
…，则
的末两位数字为 .

15.设等差数列
的前
项和为
,若
,则
.

16.（文）设函数
, 若
，则实数
的取值范围是 .

（理） (坐标系与参数方程选做题)已知圆
的参数方程为
，以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
，则直线与圆
的交点的直角坐标为 .

三．解答题

17.（本题满分12分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

18.（本题满分12分）如图，
、
是单位圆上的动点，
是单位圆与
轴的正半轴的交点，且
，记
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）若
，试求
的最大值以及此时
的值.

（Ⅱ）当
点坐标为
时，求
的值.

19.（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列
的前
项和
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前
项和
.

20．(本题满分14分)已知函数
，

（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）在区间
内至少存在一个实数
，使得
成立，求实数
的取值范围．

21.（文）(本题满分13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足

，求
的取值范围.

（理）设函数
，记
的导函数
，
的导函数
，

的导函数
，…，
的导函数
，
.

（1）求
；

（2）用n表示
；

（3）设
，是否存在
使
最大？证明你的结论.

数学（文理）答案

一．选择题

1.C2.B3.D4.B5.D6. A7.C8.B9.D（理C）10.B11. D(理C)12.A

二．填空题

13.
14.
　　　　15.
　

16.（文）
. （理）

三．解答题

17．（Ⅰ）证明：平面

平面
，
,

平面

平面
，

平面
，

∵AF在平面
内，∴
， ……………　3分

又
为圆
的直径，∴
，

∴
平面
. ………………………… 6分

（Ⅱ）解：由（1）知
即
，

∴三棱锥
的高是
，

∴
,………　8分

连结
、
，可知

∴
为正三角形，∴正
的高是
，………10分

∴
，……12分

18. 【解】（Ⅰ）
………………………………2分

则

，…………4分

，故
时，
…………………6分

（Ⅱ）依题

由余弦定理得：

……12分

19. 解(Ⅰ) 由已知得：

因为
所以

所以
，所以

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分

(Ⅱ)

(ⅰ) 当
为奇数时

(ⅱ) 当
为偶数时

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12分

20． 解：（I）当
时，
，
， …………………2分

曲线
在点
处的切线斜率

，

所以曲线
在点
处的切线方程为
． …………6分

（II）解1：

当
，即
时，
，
在
上为增函数，

故


，所以

，
，这与
矛盾………8分

当
，即
时，

若
，
；

若
，
，

所以
时，
取最小值，

因此有

，即

，解得
，这与

矛盾； ………………12分

当
即
时，
，
在
上为减函数，所以

，所以
，解得
，这符合
．

综上所述，
的取值范围为
． ………………14分

解2：有已知得：
， ………………8分

设
，
， ……………10分

，
，所以
在
上是减函数． ……………12分

，

故
的取值范围为
…………………………………………14分

21.（文） 解(Ⅰ) 设抛物线方程为
，

由已知得：
所以

所以抛物线的标准方程为
┈┈┈┈┈4分

(Ⅱ) 因为直线与圆相切，

所以
┈┈┈┈┈ 6分

把直线方程代入抛物线方程并整理得：

由

得
或
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分

设
，

则

由

得
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 10分

因为点
在抛物线
上，

所以，

因为
或
，

所以
或

所以
的取值范围为
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 13分

21.（理）

⑴易得,
, ……1分

……2分

,所以
……3分

⑵不失一般性，设函数
的导函数为

，其中
，常数
，
.

对
求导得：
……4分

故由
得：
①，

②， ……5分

③

由①得：
， ……6分

代入②得：
，即
，其中

故得：
. ……7分

代入③得：
，即
，其中
.

故得：
， ……8分

因此

.

将
代入得：
，其中
. ……9分

（2）由（1）知
，

当
时，
，

，故当
最大时，
为奇数. ……10分

当
时，
……11分

又
，

，

，因此数列
是递减数列 ……12分

又
，
， ……13分

故当
或
时，
取最大值
. ……14分