齐齐哈尔市2013届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4. 作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

参考公式：

锥体体积公式:
（其中S为底面面积，
为高）

第I卷（选择题，共60分）

一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合
,
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若复数
（
）对应的点在虚轴上，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．15

3.废品率
和每吨生铁成本
(元)之间的回归直线方程为

，这表明 （ ）

A．
与
的相关系数为2

B．
与
的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1

C．废品率每增加1%，生铁成本增加258元

D．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元

4.已知等差数列
中
,则前10项和
（ ）

A．420 B．380 C．210 D．140

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

6.设
，则
与
轴正方向的夹角为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.设
是定义在正整数集上的函数,且
满足：“当
成立时，总可推出
成立”，那么，下列命题总成立的是 （ ）

A．若
成立，则
成立

B．若
成立，则当
时，均有
成立

C．若
成立，则
成立

D．若
成立，则当
时，均有
成立

9.在
的展开式中，含
项的系数是
，若

，则
（ ）

A．1 B．0 C．
D．

10.定义在
上的函数
，则
（ ）

A．1 B．2 C．
D．

11.已知
分别为双曲线
（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，
为双曲线左支上的任意一点，若
存在最小值为12a，则双曲线离心率
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

12.函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为4的

正三角形，则此几何体的表面积为 ．

14.在四面体
中，AB，AC，AD两两垂直，AB=
,AD=2,AC=
，则该四面体外接球的表面积为 ．

15．曲线
与直线所围成的封闭图形的面积为 ．

16．已知实数x，y满足
且不等式axy
恒成立，则实数a的最小值是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
，设函数
.

（Ⅰ）求函数
的解析式，并求
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，
为锐角，若
，
，
的面积为
，求
.

18.（本小题满分12分）

一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，
，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表

摸球总次数

10

20

30

60

90

120

180

240

330

450



“和为7”出现的频数

1

9

14

24

26

37

58

82

109

150



“和为7”出现的频率

0.10

0.45

0.47

0.40

0.29

0.31

0.32

0.34

0.33

0.33



（参考数据：
）

（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率，并求
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。某人摸球3次，设其获利金额为随机变量
元，求
的数学期望和方差。

19.（本小题满分12分）

四棱锥
中，底面
为平行四边形，

侧面
面
，已知

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在SB上选取点P，使SD//平面PAC ，并证明；

（Ⅲ）求直线
与面
所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

如图,焦点在x轴的椭圆C，离心率
，且过点A（-2，1），由椭圆上异于A的P点发出的光线射到A点处被直线
反射后交椭圆于
点(Q与P不重合).

（Ⅰ）求椭圆标准方程;

（Ⅱ）求证：直线
的斜率为定值；

（Ⅲ）求
的面积的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知
的导函数
，且
，设
，

且
．

（Ⅰ）讨论
在区间
上的单调性；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求证：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
均在⊙O上，且
为⊙O的直径。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若⊙O的半径为
，
与
交于点
，且
、

为弧
的三等分点，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线
（
为参数）与曲线C交于
，
两点，与
轴交于
，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若对任意实数
，
恒成立，求实数a的取值范围．

齐齐哈尔市2013年高三第二次模拟考试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）

13.
14.
15. 9 16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解：

（Ⅰ）
…3分

因为
，所以
.

所以当
时，函数
在区间
上的最小值为
. ……6分

（Ⅱ）由
得：
.

化简得：
，又因为
，解得：
. ……9分

由题意知：
，解得
，又
，

，
. ……12分

18. 解 ：（1）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为
………………………2分

，
A事件包含两种结果，则有
，
…………5分

（2）设
表示3次摸球中A事件发生的次数，则
,

………………………8分

则

………………………10分

………………………12分

（3）如图，以射线OA为X轴，以射线OB为
轴，以射线OS为
轴，以
为原点，建立空间直角坐标系
,则

．

，
…9分

设平面
法向量为

有
令
，则
，

…11分 z

所以直线
与面
所成角的正弦值为
…12分

x

（Ⅲ）由（Ⅱ），设
的方程为
.

由
联立得：

令
，得
，设
，则

………………8分

………………9分

设原点
到直线
的距离为
，则
……………10分

，

即当
时，
面积的最大值为
. ………………12分

（Ⅲ）由（2）知，

又

即
当
时取等号。……………………

22．（