徐州市2013年高考考前信息卷

数学Ⅰ卷

[来源:学科网ZXXK]

参考公式：

样本数据
的标准差
，其中
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．[来源:Zxxk.Com]

1．若集合
，
，则
＝ ▲ ．

2．设i是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
的值为 ▲ ．

3．已知样本
的平均数是
，且
，则此样本的标准差是 ▲ ．

4．在集合
中任取一个元素，

所取元素恰好满足方程
的概率是 ▲ ．

5．已知双曲线与椭圆
有相同的焦点，且它们的

离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ▲ ．

已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数

在
上有且只有两个零点，则实数

的取值范围是 ▲ ．

7．已知
，则
▲ ．

8．有一个正四面体的棱长为
，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ▲ ．

9．过点
的直线将圆
分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ▲ ．

10．已知数列
的前
项和
，且
的最大值为8，则

▲ ．

11．已知中心为
的正方形
的边长为2，点
分别为线段
上的两个不同点，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

12．在数列
中，已知
，
，当
时，
是
的个位数，

则

▲ ．

13．已知
，若实数
满足
，则
的最小值是 ▲ ．

14．设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
．若存在
，使得
，则实数
的取值范围是
▲ ．

二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设
的内角
所对的边分别为
．已知
，
，
．

⑴求边
的长；

⑵求
的值
．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是平行四边形，且
，
，
，
分别是
，
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，垂足为
，求证：
．

17．（本小题满分14分）

某人
年底花
万元买了一套住房，其中首付
万元，
万元采用商业贷款．贷款的月利率为
‰，按复利计算，每月等额还贷一次，
年还清，并从贷款后的次月开始还贷．

⑴这个人每月应还贷多少元？

⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房
万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据：
）

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，且椭圆
上的点到点
距离的最小值为2．

⑴求椭圆
的方程；

⑵设椭圆
的左、右顶点分别为
，过点
的直线
与椭圆
及直线
分别相交于点
．

（ⅰ）当过
三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；

（ⅱ）若
，求
的面积．

19．（本小题满分16分）

已知数列
，其前
项和为

．

⑴若对任意的
，
组成公差为
的等差数列，且
，
，求
的值；

⑵若数列
是公比为
的等比数列，
为常数，求证：数列
为等比数列的充要条件为
．

20．（本小题满分16分
）

已知函数
，

，
．

⑴求函数
的单调区间；

⑵记函数
，当
时，
在
上有且只有一个极值点，求实 数
的取值范围；

⑶记函数
，证明：存在一条过原点的直线
与
的图象有两个切点．

徐州市2013年高考考前信息卷

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，
的半径
垂直于直径
，
为
上一点，
的延长线交
于点
， 过
点的切线交
的延长线于点
．

（1）求证：
；

（2）若
的半径为
，
，

求
长．[来源:学.科.网]

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）[来源:学科网]

设
，
，试求曲线
在矩阵
变换下的曲线方程．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知点
为圆
上任一点．求点
到直线
的距离的最小值与最大值．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知
为正数，且满足
，求证：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．过直线
上的动点
作抛物线
的两切线
，
为切点．

（1）若切线
的斜率分别为
，求证：
为定值；

（2）求证：直线
过定点．

23．已知
．

⑴求
及
；

⑵试比较
与
的大小，并说明理由．

徐州市2013年高考考前信息卷

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：1．
2．3 3．
4．
5．
6．
7．

8．
9．
10．
11．
12．
13．9 14．

二、解答题:

15．⑴由
，得
．………………………………………………2分

因为
，
，所以
，…………………………………………………4分

所以
，

所以
．…………………………………………………………………………… 7分

⑵因为
，
，

所以
，…………………………………9分

所以
，……………………………………………………11分

因为
，所以
，故
为锐角，所以
，

所以
. …………14分

16．（1）取
的中点
，连结
，
，

因为
是
的中点，所以
，
，

又因为
是
中点，所以
，

因为四边形
是平行四边形；

所以
，所以
,

所以四边形
是平行四边形，
…………4分

所以
．因为
平面
，

平面
，

所以
平面
．……………………6分

（2）因为
平面
,
平面
,

所以
，又因为
,
,

平面
，
平面
，

所以
平面
，又
平面
，

所以
． ……………………………9分

又
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
，又
平面
，所以
，……………………12分

又
，
是
中点，所以
，……………………………………13分

又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，

又
平面
，所以
．……………………………………………………14分

17．⑴设每月应还贷
元，共付款
次，则有

，…………4分

所以
（元）．………………………………6分

答：每月应还贷
元．………………………………………………………………7分

⑵卖房人共付给银行
元，

利息
（元），………………………………………………10分

缴纳差额税
（元），………………………………12分

（元）．

答：卖房人将获利约
元．………………………………………………………14分

18．⑴由已知，
，且
，所以
，
，所以
，

所以椭圆
的方程为
．………………………………………………………3分

⑵（ⅰ）由⑴，
，
，设
．

设圆的方程为