山东省聊城市某重点高中2013届高三下学期高考模拟试题（三）数学（文理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两大部分；

考试时间120分钟；满分150分

第I卷（选择题）

一．选择题（共60分）

1.（理）已知
是
上的减函数，那么
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

（文）设函数
定义在实数集R上，
，且当
时
=
，则有

A．
B．

C．
D．

2.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①
；②
，③
；

④
对应的曲线中存在“自公切线”的有 （ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

3.已知
是两个正数
的等比中项，则圆锥曲线
的离心率为

A．
或
B．
C．
D．
或

4.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

A．（1），（3） B．（1），（3），（4） C．（1），（2），（3） D．（1），（2），（3），（4）

5.（文）设

,

则
的值为 （　　）

A．1 B．0 C．
D．

（理）定义运算
,如
.

已知
,
,则
( )

.

.

.

.

6.执行如图所示的程序框图，若输入
的值为2，则输出的
值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7.我们把具有以下性质的函数
称为“好函数”：对于在
定义域内的任意三个数
，若这三个数能作为三角形的三边长，则
也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数：

①
②

③
，
④
，
.

其中是“好函数”的序号有（ ）

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④

8.设
记不超过
的最大整数为
令
则
（ ）

是等差数列但不是等比数列
是等比数列但不是等差数列

既是等差数列又是等比数列
既不是等差数列也不是等比数列

9.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数
的图象恰好通过
个整点，则称函数
为
阶整点函数.有下列函数

①

②
③
④

其中是一阶整点函数的是 ( ）

A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④

10.给出下列命题：

①已知椭圆
两焦点
，则椭圆上存在六个不同点
，使得△
为直角三角形；

②已知直线过抛物线
的焦点，且与这条抛物线交于
两点，则
的最小值为2；

③若过双曲线
的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为
为坐标原点，则
；

④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.

其中正确命题的序号是( )

A．①③④ B．①②③ C．③④ D．①②④

11.设
与
是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意
∈[a，b]，都有
成立，则称
和
在[a，b]上是“紧密函数”.若
与
在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（ ）。

A．[0，1] B．[2，3] C．[1，2] D．[1，3]

12.下列四个命题：

（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；

（2）若函数f（x）＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a＜0且a＞0

（3）y= x2一2｜x｜＋3的递增区间为：[1. ＋
)

（4）y＝1－x和y＝
表示相等函数．其中正确命题的个数是（　〕

A、0　　B、1　　C、2　　D、3

第II卷（非选择题）

二．填空题

13.已知方程
的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则
的取值范围是 .

14.已知集合
是满足下列性质的函数
的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意
，等式
＝
＋
恒成立．现有两个函数
，
，则函数
、
与集合
的关系为 ?????????????

15.四位同学在研究函数
时，分别给出下面四个结论：①函数
的图象关于
轴对称； ② 函数
的值域为 (－1,1)；

③若
则一定有
；④若规定
,
，则
对任意
恒成立． 你认为上述四个结论中正确的有

16.（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设
＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，
＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量
与
夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量
，
，当
＝(1,1,1,1，…，1)，
＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于______________

（文）下列5个判断：

①若
在
上增函数，则
；

②函数
只有两个零点；

③函数
的值域是
；

④函数
的最小值是1；

⑤在同一坐标系中函数
与
的图像关于
轴对称。

其中正确命题的序号是 。

三．解答题

17．（本小题满分14分）

已知f（x）=x-
（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．

（1）若对[1，+
）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有
成立；

（3）求证：
．

18.如图,直角梯形ABCD中,
,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的
．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,
．

（1）求证:平面PCD⊥平面
;

（2）侧棱
上是否存在点E,使得
平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．

（3）（理）求二面角
的余弦值．

19.请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）用规格长
宽
高=
外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?

（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？

20.（理）已知数列
满足
，且
（n
2且n∈N*）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前n项之和
，求
,并证明：
．

（文）已知递增的等比数列
满足
是
的等差中项。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
是数列
的前
项和，求

21.在平面直角坐标系中，已知向量
，
，若
．

（1）求动点
的轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

（2）当
时，已知
、
，点P是轨迹T在第一象限的一点，且满足
，若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点
，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．

22.边长为2的正方体
中,P是棱CC1上任一点,

（1）是否存在满足条件的实数m,使平面
面
?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．

（2）（理）试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数
,并求
的值．

（文）是否存在实数m,使得三棱锥
和四棱锥
的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．

数学（文理）试卷答案

一．选择题

1.（理）B

（文）C

由
可知函数关于直线
对称，所以
，且当
时，函数单调递增，所以
，即
，即选C.

2.B 画图可知选B. ①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；

②
=
，在 x= 和 x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．

③
=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．

④由于
，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．

故答案为 B．

3.D 4.D 5.（文）B（理）A

6.C

第一次循环：
，
；第二次循环：
，
；

第三次循环：
，
，因此输出的
，故选择C。

7.B8.B9.D10.A11.A12.A

二．填空题

13.

14.

15.②③.④

16.（理）
（文）

三．解答题

17.解：（1）设点
为直线
与曲线
的切点，则有
． （*）

，
． （**）

由（*）、（**）两式，解得
，
． ……………………………2分

由
整理，得
，

，
要使不等式
恒成立，必须
恒成立．

设
，
，

，
当
时，
，则
是增函数，

，
是增函数，
，
．…………………5分

因此，实数
的取值范围是
． ………………………………………6分

（2）当
时，
，

，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．

要对
内的任意
个实数
都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当
时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．

，解得
．

因此，
的最大值为
． ………………………………………10分

（3）证明（法一）：当
时，根据（1）的推导有，
时，
，

即
． ………………………………………………………11分

令
，得
，

化简得
， ………………………………13分

． ………………………14分

18.（理）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA．又△ABC的面积等于△ADC面积的
,∴
．在底面
中，因为
，
，所以
，所以
．又因为