2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知集合
，则
中的元素的个数为

．

．

．

．

2.复数
的共轭复数是

A.
B.

C.
D.

3.下列函数一定是偶函数的是

A.
B.

C.
D.

4．已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为

．

．

．

．

5.已知q是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递减数列”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
，则判断框①处应填入的条件是

A.
B.
C.
D.

7一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

8.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）

A．

B．

C．

D．

9.直线
截圆
所得劣弧所对的圆心角是

A．
B．
C．
D．

10若
满足条件
，当且仅当
时，
取最小值,则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二。 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．若曲线
与直线
所围成封闭图形的面积为
．则正实数
___.

12. “公差为
的等差数列数列
的前
项的和为
，则数列
是公差为
的等差数列”，类比上述性质有：“公比为
的等比数列数列
的前
项的和为
，则数列___________________________”.

13．若
展开式中含
的项的系数为280，则
=

14.定义域
的奇函数
，当
时
恒成立，若
，
，
，则
的大小关系为___。

15. A（不等式选做题）

若存在实数
满足不等式
则实数
的取值范围是　　。

15. B （几何证明选做题）

在△
中，
是边
的中点，点
在线段
上，且满足
，延长
交
于点
，则
的值为_____．

15 .C （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴

为极轴建立极坐标系．曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标

方程为
，则
与
交点在直角坐标系中的坐标为 ____。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.已知函数
．其图象的两个相邻对称中心的距离为
，且过点
．

(I) 函数
的解析式；

(Ⅱ) 在△ABC中，角
，
，
所对的边分别为
，
，c．已知
．

且
，求角
的大小.

17. 在等比数列
中，已知
，公比
，等差数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列
的前n项和
.

18. (Ⅰ)试用向量方法证明点
到直线
的距离公式
;

(Ⅱ)已知正方体
的棱长为
,类比(Ⅰ)中研究方法，求点
到平面
的距离.

19.已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
上一点与两个焦点构成的三角形的周长为
.

（I）求椭圆
的方程；

（II）设过椭圆
右焦点
的动直线
与椭圆
交于
两点，试问：在
轴上是否存在定点
，使
成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

20.选聘高校毕业生到村任职，是党中央作出的一项重大决策，这对培养社会主义新农村建设带头人，引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义。为响应国家号召，某大学决定从符合条件的
名（其中男生
名，女生
名）报名大学生中选择
人到某村参加村主任应聘考核。

（1）设所选
人中女生人数为
，求
的分布列及数学期望；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

21.已知函数
，
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴．

（I）确定
与
的关系；

（II）试讨论函数
的单调性；

（III）证明：对任意
，都有
成立．

【参考答案】

1.B【解析】
所以
.

2.B【解析】
所以其共轭复数为

3.A【解析】由偶函数定义可知，函数
中，
的定义域关于原点 对称且

.

4. C【解析】由
得
，
所以

5.D【解析】由数列
是递减数列可得
，因此“
” 是“数列
是递减数列”的既不充分也不必要条件。

6.C【解析】由框图的顺序，
依次循环

，
，注意此刻
仍然为否，

注意到
仍然为否，

此刻输出

7.C【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是
的正方形高是
的直四棱柱的基础上截去一个底面积为
高为
的三棱锥形成的，所以

8.A【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．

9.D【解析】圆心
到直线
的距离为
，所求的圆心角为

10. C【解析】画出可行域，得到最优解
，把
变为
，即研究
的最大值。当
时，
均过
且截距
最大 。

11.
【解析】
所以

12.
是公比为
的等比数列【解析】

，∴
是公比为
的等比数列。

13.
【解析】
，所以
，所以

14.
【解析】设
，依题意得
是偶函数，当
时
，即
恒成立，故
在
单调递减，则
在
上递增，
，
，
．又
，故
．

15.A
【解析】
，所以
，
或

15.B
【解析】过点
作
交
于点
，则
，又

所以
即

15.C
【解析】
为
，所以
，解得
因此
.

16.【解析】（Ⅰ）

.

两个相邻对称中心的距离为
，则
，

，又
过点
，

，
，

.

(Ⅱ)在△ABC中，
，

因为
，所以
，

所以
，

因为
，所以
，因为
，所以
．

而由
得
,所以

17.【解析】(Ⅰ) 设等比数列
的公比为
，等差数列
的公差为
.

由已知得：
，

或
(舍去)，

所以， 此时

所以，
，
.

(Ⅱ) 由题意得：