2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知集合
，则
中的元素的个数为

．

．

．

．

2.复数
的共轭复数是

A.
B.

C.
D.

3.下列函数一定是偶函数的是

A.
B.

C.
D.

4．已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为

．

．

．

．

5.已知q是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递减数列”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
，则判断框①处应填入的条件是

A.
B.
C.
D.

7一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

8.已知
的面积为
，在
所在的平面内有两点
，满足
，则
的面积为

A.
B.
C.
D.

9.直线
截圆
所得劣弧所对的圆心角是

A．
B．
C．
D．

10.函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于

A．
B．
C．
D．

二。 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知双曲线
的一个焦点与抛线线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为 .

12. “公差为
的等差数列数列
的前
项的和为
，则数列
是公差为
的等差数列”，类比上述性质有：“公比为
的等比数列数列
的前
项的和为
，则数列___________________________”.

13.若
满足条件
，当且仅当
时，
取最小值,则实数
的取值范围是______.

14.定义域
的奇函数
，当
时
恒成立，若
，
，
，则
的大小关系为___。

15. A（不等式选做题）

若存在实数
满足不等式
则实数
的取值范围是　　。

15. B （几何证明选做题）

在△
中，
是边
的中点，点
在线段
上，且满足
，延长
交
于点
，则
的值为_____．

15 .C （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴

为极轴建立极坐标系．曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标

方程为
，则
与
交点在直角坐标系中的坐标为 ____。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.已知函数
．其图象的两个相邻对称中心的距离为
，且过点
．

(I) 函数
的解析式；

(Ⅱ) 在△ABC中，角
，
，
所对的边分别为
，
，c．已知
．

且
，求角
的大小.

17. 在等比数列
中，已知
，公比
，等差数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和.

18.已知直角梯形
中，
，
，
，
是等边三角形，平面
⊥平面
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求三棱锥
的体积．

19.2013年1月份以来,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与
有关.
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.
日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：

日均值k(微克)

空气质量等级





一级





二级





超标





某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的
日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）.

（Ⅰ）分别求出甲、乙两市
日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好；

（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率.

20.已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
上一点与两个焦点构成的三角形的周长为
.

（I）求椭圆
的方程；

（II）设过椭圆
右焦点
的动直线
与椭圆
交于
两点，试问：在
轴上是否存在定点
，使
成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

21.已知函数
，
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴．

（I）确定
与
的关系；

（II）若
，试讨论函数
的单调性；

（III）设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
，（
）

证明：
．

【参考答案】

1.B【解析】
所以
.

2.B【解析】
所以其共轭复数为

3.A【解析】由偶函数定义可知，函数
中，
的定义域关于原点 对称且

.

4. C【解析】由
得
，
所以

5.D【解析】由数列
是递减数列可得
，因此“
” 是“数列
是递减数列”的既不充分也不必要条件。

6.C【解析】由框图的顺序，
依次循环

，
，注意此刻
仍然为否，

注意到
仍然为否，

此刻输出

7.C【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是
的正方形高是
的直四棱柱的基础上截去一个底面积为
高为
的三棱锥形成的，所以

8.B【解析】由
知
为
的边
的中点.因为
，所以
，
为
的边
的三等分点（靠近点
）.于是

9.D【解析】圆心
到直线
的距离为
，所求的圆心角为

10.B【解析】

画出两函数图象可知均关于直线
对称，所以在
内所有交点横坐标之和为

11.
【解析】抛线线
的焦点
．

12.
是公比为
的等比数列【解析】

，∴
是公比为
的等比数列。

13
【解析】画出可行域，得到最优解
，把
变为
，即研究
的最大值。当
时，
均过
且截距
最大 。

14.
【解析】设
，依题意得
是偶函数，当
时
，即
恒成立，故
在
单调递减，则
在
上递增，
，
，
．又
，故
．

15.A
【解析】
，所以
，
或

15.B
【解析】过点
作
交
于点
，则
，又

所以
即

15.C
【解析】
为
，所以
，解得
因此
.

16.【解析】（Ⅰ）

.

两个相邻对称中心的距离为
，则
，

，又