2013辽宁省高考压轴卷

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱锥底面积，h表示棱锥的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱台的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 棱台的体积公式

球的表面积公式 其中
分别表示棱台的上、下底面积，

h表示梭台的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）i 是虚数单位，复数

(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

（2）函数f(x)=
的零点所在的一个区间是

(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是

(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数

（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

（4）已知正数、满足
，则
的最小值为（ ）

1

(5)已知双曲线
的一条渐近线方程是y=
,它的一个焦点在抛

物线
的准线上，则双曲线的方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知
是首项为1的等比数列，
是
的前n项和，且
，则数列
的前5项和为

（A）
或5 （B）
或5 （C）
（D）

（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若
，
，

则A=

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）若函数f(x)=
,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）

（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

(9)设集合A=
若AB,则实数a,b必满足

（A）
（B）

（C）
（D）

10．已知函数
，则方程
（
）的根的个数不可能为（ ）

6
5
4
3

第II卷

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ．

12．执行如图2所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．

（13）已知圆C的圆心是直线
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为

(14)如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。

（15）【引用】已知O为△ABC的外心，
， 若
，且32x+25y=25，则
== ．

（16）设函数
，对任意
，
恒成立，则实数的取值范围是 .

17.已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图象如图所示. 下列关于
的命题：

①函数
的极大值点为
，；②函数
在
上是减函数；③如果当
时，
的最大值是2，那么的最大值为4；

④当
时，函数
有个零点；⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知函数

，
．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为
，且过点
．

（Ⅰ）求函数
的达式；

（Ⅱ）在△
中．、
、分别是角、、
的对边，
，
，角C为锐角。且满足
，求的值．

19.（本小题满分14分）袋中有大小相同的
个编号为、、
的球，号球有个，号球有个，
号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出
号球的前提下，再摸出一个号球的概率是
．

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

20. （本小题满分14分）

如图，已知
为平行四边形，
，
，
，点在
上，
，
，
与
相交于
．现将四边形
沿
折起，使点在平面
上的射影恰在直线
上．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求折后直线
与平面
所成角的余弦值．

（21）（本小题满分15分）已知椭圆
的左顶点
，过右焦点且垂直于长轴的弦长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过点的直线
与椭圆交于点
，与轴交于点，过原点与
平行的直线与椭圆交于点，求证：
为定值．

22.（本小题满分15分）设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性.

（Ⅲ）若对任意
及任意
，恒有
成立，求实数的取值范围.

辽宁省高考压轴卷 数学(理)试题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

（1）i 是虚数单位，复数

(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

【答案】A

【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.

（2）函数f(x)=
的零点所在的一个区间是

(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

【答案】B

【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

由
及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。

（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是

(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数

（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

【答案】B

【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。

否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。

（4）已知正数、满足
，则
的最小值为（ ）

1

【答案】D

(5)已知双曲线
的一条渐近线方程是y=
,它的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】B

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。

依题意知
，所以双曲线的方程为

（6）已知
是首项为1的等比数列，
是
的前n项和，且
，则数列
的前5项和为

（A）
或5 （B）
或5 （C）
（D）

【答案】C

【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然q1，所以
，所以
是首项为1，公比为
的等比数列， 前5项和
.

（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若
，
，则A=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由由正弦定理得
，所以cosA=
=
，所以A=300

（8）若函数f(x)=
,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）

（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

【答案】C

【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

(9)设集合A=
若AB,则实数a,b必满足

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】D

【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。

A=｛x|a-1b+2}

因为AB,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|3

10．【引用】已知函数
，则方程
（
）的根的个数不可能为（ ）

6
5
4
3

【答案】A

第II卷

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ．

【答案】

12．执行如图2所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．

【答案】

（13）已知圆C的圆心是直线
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为

【答案】

本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得t=-1，所以直线
与x轴的交点为（-1.0）

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，所以圆C的方程为

(14)如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。

【答案】2

（15）【引用】已知O为△ABC的外心，
， 若
，且32x+25y=25，则
== ．

【答案】10

(16)

（17） ①②⑤

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.解：（Ⅰ）
. （4分）

∵最高点与相邻对称中心的距离为
，则
，即
，（5分）

∴
，∵
，∴
， （6分）

又
过点
，

∴
，即
，∴
. （7分）

∵
，∴
，∴
. （8分）

（Ⅱ）
，由正弦定理可得
， （10分）

∵
，∴
， （12分）

又