2013年辽宁省高考压轴卷

数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱锥底面积，h表示棱锥的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱台的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 棱台的体积公式

球的表面积公式 其中
分别表示棱台的上、下底面积，

h表示梭台的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

(1)i是虚数单位，复数
=

(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i

(2)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z=4x+2y的最大值为

（A）12 （B）10 （C）8 （D）2

(3) 已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）

1

（4）函数f（x）=

(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）

(5)下列命题中，真命题是

(A)

(B)

(C)

(D)

(6)设

(A)a

(7)设集合
则实数a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

（8）已知函数
，则方程
（
）的根的个数不可能为（ ）

6
5
4
3

（9）如图，在ΔABC中，
，

，
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）设函数
，
则
的值域是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则
的值为 。

（12）某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ．

（13）已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同。则双曲线的方程为 。

（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。

（15）设{an}是等比数列，公比
，Sn为{an}的前n项和。记
设
为数列{
}的最大项，则
= 。

（16）设函数f(x)=x-
,对任意x
恒成立，则实数m的取值范围是________

17.已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图象如图所示. 下列关于
的命题：

①函数
的极大值点为
，
；②函数
在
上是减函数；③如果当
时，
的最大值是2，那么
的最大值为4；

④当
时，函数
有
个零点；⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

在
中，
的对边分别是
，已
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求边
的值．

19．（本小题满分14分）

已知等比数列
的公比为
（
）的等比数列，且
成等差数列，

（Ⅰ）求公比
的值；

（Ⅱ）设
是以
为首项，
为公差的等差数列，其前
项和为
，当
时，比较
与
的大小，并说明理由。

20．（本题满分14分）

如图所示，已知圆
的直径
长度为4，点
为线段
上一点，且
，点
为圆
上一点，且
．点
在圆
所在平面上的正投影为点
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成的角的正弦值。

21．（本题满分15分）

已知函数
,

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）设
，若
在
上不单调且仅在
处取得最大值，求
的取值范围。

22．（本小题满分15分）

已知抛物线
上的点
到焦点的距离为
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）如图，已知动线段
（
在
右边）在直线

上，且
，现过

作
的切线，取左边的切点
，过
作
的切线，取右边的切点为
，当
，求
点的横坐标
的值。

辽宁省高考压轴卷 数学(文)试题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题
，每小题5分，共50分

(1)i是虚数单位，复数
=

(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i

【答案】A

【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.

(2)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z=4x+2y的最大值为

（A）12 （B）10 （C）8 （D）2

【答案】B

【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.

(3) 已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）

1

【答案】D

（4）函数f（x）=

(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）

【答案】C

【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C

(5)下列命题中，真命题是

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.

(6)设

(A)a

【答案】D

【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。

因为

(7)设集合
则实数a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

【答案】C

【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。

由|x-a|<1得-1

（8）已知函数
，则方程
（
）的根的个数不可能为（ ）

6
5
4
3

【答案】A

（9）如图，在ΔABC中，
，

，
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

（10）设函数
，
则
的值域是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知
，

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则
的值为 。

【答案】

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。

因为A,B,C,D四点共圆，所以
,因为
为公共角，所以

⊿PBC∽⊿PAB,所以
=

（12）某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ．

【答案】

（13）已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同。则双曲线的方程为 。

【答案】

【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。

由渐近线方程可知
①

因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②

又
③

联立①②③，解得
，所以双曲线的方程为

（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。

【答案】

本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，所以圆C的方程为

（15）设{an}是等比数列，公比
，Sn为{an}的前n项和。记
设
为数列{
}的最大项，则
= 。

【答案】4

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

因为
≧8，当且仅当
=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。

（16）设函数f(x)=x-
,对任意x
恒成立，则实数m的取值范围是________

【答案】m<-1

【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

已知f（x）为增函数且m≠0

若m>0，由复合函数的单调性可知f（m