2013湖北省高考压轴卷理科数学

本试卷共22题，其中第15、16题为选考题.满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．下列命题错误的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
中至少有一个不为0，则
”

B．若命题
：
，则
：

C．
中，
是
的充要条件

D．若
为假命题，则
、
均为假命题

3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．设实数
成等差数列，实数
成等比数列，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

5．函数
的部分图象如图所示，若
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

6．如图，设
是图中边长分别为1和2的矩形区域，
是
内位于函数
图象下方的区域（阴影部分），从
内随机取一个点
，则点
取自
内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．过抛物线
的焦点
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，若
，则
的值为（ ）

A．4 B．5 C．
D．

8．已知直角三角形ABC，其三边分为a,b,c,（a>b>c）。分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1,V2,V3.则它们的关系为 ( )

A.S
>S
>S
, V
>V
>V
B.S

C.S
>S
>S
, V
=V
=V
D. S

9．若双曲线
的左、右顶点分别为
，点
是第一象限内双曲线上的点．若直线
的倾斜角分别为
，且
，那么
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
是定义在
上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：

①
的值域为
，且
；②对任意不同的
，都有
．

那么，关于
的方程
在
上根的情况是（ ）

A．没有实数根 B．有且只有一个实数根

C．恰有两个不同的实数根 D． 有无数个不同的实数根

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分 ．请将答案填在题中横线上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11
14题）

11．已知复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数的虚部为___________．

12．已知
为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
的展开式中的常数项是___________．（用数字作答）

13．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是______________．

14．由曲线
围成的图形的面积为_______。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修
：几何证明选讲）

如图，
内接于圆
，
，直线
切圆
于点
，
交
于点
．若
，
，则
的长为______________．

16．（选修
：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆
的方程为
，以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆
的参数方程为
（
为参数），若圆
与圆
外切，则实数
___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知向量
，
，设函数
．（1）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值；（2）已知在
中，内角
的对边分别为
，其中
为锐角，
，
，又
，求
的值．

18．（本小题满分12分）已知等比数列
满足：
，且
是
的等差中项．（1）求数列
的通项公式；（2）若
，
，求使
成立的正整数
的最小值．

19．（本小题满分12分）如图甲，在等腰
中，
分别是
，
，
边的中点，
，现将
沿
翻折成直二面角
，如图乙．

（1）试判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由；（2）求二面角
的余弦值；（3）在线段
上是否存在一点
，使
？证明你的结论．

20．（本小题满分12分）我省某示范性高中为推进新课程改革，满足不同层次学生的要求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）．统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

21．（本小题满分13分）如图，已知
、
是抛物线
：
上的两个不同的点，且
，
，直线
是线段
的垂直平分线．设椭圆
的方程为
．

（1）当
、
在
上移动时，求直线
的斜率
的取值范围；

（2）已知直线
与抛物线
交于
、
两点，与椭圆
交于
、
两点，设线段
的中点为
，线段
的中点为
，若
，求椭圆
的离心率的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知函数
，
（
为自然对数的底数）．（1）求函数
在区间
上的值域；

（2）是否存在实数
，对任意给定的
，在区间
上都存在两个不同的
，使得
成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）给出如下定义：对于函数
图象上任意不同的两点
，如果对于函数
图象上的点
（其中
）总能使得
成立，则称函数具备性质“
”，试判断函数
是否具备性质“
”，并说明理由．

KS5U2013湖北省高考压轴卷理科数学答案

1．D

【解析】：由已知条件可得
，则
，

∴
．故选D．

2．D

【解析】：由原命题与逆否命题的关系可知A正确；由特称命题的否定可知B正确；由正弦定理和三角形边角关系可知C正确；若
为假命题，则
、
有可能一真一假，未必均为假命题，由此可知D错误．故选D．

3．C

【解析】：由题意可知
，
；

，

，则
，
．故选C．

4．B

【解析】：由于实数
成等差数列，则
；由于实数
成等比数列，则
，所以


，利用基本不等式易得，当
同号时，

；当
异号时，

．故选B．

5．A

【解析】：∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．过
作

轴，垂足为
．∵
，∴
，∴
，∴
．故选A．

6．C

【解析】：将
与
图象交点记为
，则
，∴阴影部分
的面积
，而
的面积为
，∴所求概率
．故选C．

7．A

【