2013福建省高考压轴卷 数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟.

参考公式：锥体体积公式
,其中
为底面面积，
为高.

第Ⅰ卷（选择题:共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
，其中
是虚数单位，则复数
的模为( )

A.
B.
C.
D. 2

2．设
R，则“
”是“直线
与直线
平行”的( )条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3．设函数
，则下列结论中正确的是( )

A.
B.

C.
D.

4．设等差数列
的前
项和是
，若
(
N*,且
)，则必定有( )

A.
，且
B.
，且

C.
，且
D.
，且

5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出
的值是( )

A.
B.

C.
D.

6．设函数
的定义域为

,值域为
,若
的最小值为
,则实数a的值为( )

A.
B.
或
C.
D.
或

7．设双曲线
的左,右焦点分别为
,过
的直线
交双曲线左支于
两点,则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D. 16

8．已知集合
，集合

，若
，则实数
可以取的一个值是( )

A.
B.
C.
D.

9．设函数
，则函数
的零点的个数为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

10．设等差数列
满足：
，公差
. 若当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题:共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

11．从
中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．

12．无穷数列
的首项是
，随后两项都是
，接下来
项都是
，再接下来
项都是
，…，以此类推.记该数列为
，若
，
，则
．

13．若正数
满足
，则
的最小值为 ．

14．在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若
.则直线
被圆

所截得的弦长为 ．

15．若整数
满足不等式组
,则
的最大值为

三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．

16．设
.

(Ⅰ)求
的最大值及最小正周期；

(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足
,
，求
的值.

17．已知甲箱中只放有x个红球与y个白球
且
，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球.

(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时
的值；

(Ⅱ)当
时，求取出的3个球中红球个数
的期望
.

18．已知数列
满足
,其中
N*.

(Ⅰ)设
，求证：数列
是等差数列，并求出
的通项公式
；

(Ⅱ)设
，数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
对于
N*恒成立，若存在，求出
的最小值，若不存在，请说明理由.

19．已知椭圆C：
的离心率为
，右焦点到直线

的距离为
.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线
与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线
上，求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).

20．已知函数
若存在函数
使得
恒成立，则称
是
的一个“下界函数”.

（I） 如果函数
为实数
为
的一个“下界函数”，求
的取值范围；

（Ⅱ）设函数
试问函数
是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.

21． ()[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵
的逆矩阵
,求矩阵
的特征值.

(2)[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆
经过点
,圆心为直线
与极轴的交点,求圆
的极坐标方程.

（3）[选修
:不等式选讲]：已知函数

(1)当
时,求不等式
的解集; (2)若
的解集包含
,求
的取值范围.

KS5U2013福建省高考压轴卷 数学理试题答案

1.B【解析】由题意，得：
，复数
的模

2.C【解析】由题意，
，即充分。

又
，注意到此时
不重合，即必要。

3.D【解析】由题意，
，即
为偶函数。

故
. 显然
单调递增。 所以

4.C【解析】由题意，得：
。

显然，易得
，

5.B【解析】由题意，得：n=5,k=0
n=16,k=1,
n=8,k=2,
n=4,k=3,
n=2,k=4,

n=1,k=5
终止，当
时，执行最后一次循环； 当
时，循环终止，这是关键。输出
。

6.D【解析】由题意，分
或
两种情况：

（1）
时，
，此时
在
上单调递减， 故

（2）
时，
，此时
在
上单调递增，故

7.B【解析】由题意，得：

显然，AB最短即通径，
，故

8.A【解析】
、

不难分析，A、B分别表示两个圆，要满足
，即两圆内切或内含。故圆心距
，即：

.

显然，
，故只有(A)项满足。

9.C【解析】由题意，
的零点，即
的交点。

易绘
的函数图象，且

当
时，

依次类推，易得

又
, 同理
，

不难绘出
的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。

10.B【解析】先化简：

又当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，即：

11.
【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。

【1】没0：2必填个位，
种填法；【2】有0：0填个位，
种填法；0填十位，2必填个位，
种填法；

所以，偶数的个数一共有
+
+
=10种填法。

12.
【解析】将
分组成
。

第
组有
个数，第
组有
个数，以此类推... 显然
在第
组，
在第
组。

易知，前20组共
个数. 所以，
。

13.
【解析】由题意：
，

14.
【解析】由题意：设弦长为

圆心到直线的距离

15.
【解析】由题意，绘出可行性区域如下：设
，即求
的截距的最大值。

因为
，不妨找出
附近的“整点”。有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，
最大.

16.【解析】（I）
故
的最大值为
，最小正周期为
.

(II)由
得
，故
，

又由
，解得
。 再由
，
.

17.【解析】(I)由题意知
，

当且仅当
时等号成立，所以，当
取得最大值时
.

(II)当
时，即甲箱中有
个红球与
个白球，所以
的所有可能取值为

则
，
，
,

，

所以红球个数