2013重庆省高考压轴卷

数学（理）试题

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱锥底面积，h表示棱锥的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱台的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 棱台的体积公式

球的表面积公式 其中
分别表示棱台的上、下底面积，

h表示梭台的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

第I卷

选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
},
,则

(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}

(2)已知复数
，
是z的共轭复数，则
=

A.
B.
C.1 D.2

(3) 若
是
与
的等比中项，则
的最大值为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

（4）已知命题
：函数
在R为增函数，

：函数
在R为减函数，

则在命题
：
，
：
，
：
和
：
中，

真命题是

（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，

（5）执行如图所示的程序框图．则输出的所有点

A.都在函数
的图象上

B.都在函数
的图象上

C.都在函数
的图象上

D.都在函数
的图象上

（6）设偶函数
满足
，

则

(A)

(B)

(C)

(D)

（7）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(A)
(B)
(C)
(D)

（8）如题（8）图，在四边形
中，
，

，
，

则
的值为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

（9）设正数
满足
，则
（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

(10)函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于

（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第II卷

二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．

(11) 若函数
的定义域为
，则
的取值范围为______

（12）若变量
满足约束条件
则
的最小值为 。

（13）在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
在
轴上，离心率为
。过
的直线L交C于
两点，且
的周长为16，那么
的方程为 。

（14）已知矩形
的顶点都在半径为4的球
的球面上，且
,则棱锥
的体积为 。

（15）在
中，
，则
的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本题满分11分)

已知
内角
，
，
的对边分别为
，
，
，其中
，
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）设
,求
的取值范围.

17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆
元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获
元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
，
，
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（Ⅰ）获赔的概率；

（Ⅱ）获赔金额
的分布列与期望．

18. (本题满分11分)

已知函数
．

（Ⅰ）若
在
处取得极大值，求实数
的值；

（Ⅱ）若
，求
在区间
上的最大值．

19. （本小题满分14分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问6分）

如题（19）图，在直三棱柱
中，

，
，
；

点
分别在
，
上，且
，

四棱锥
与直三棱柱的体积之比为
．

（Ⅰ）求异面直线
与
的距离；

（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的正切值．

20. (本题满分14分) 已知点
，
是抛物线
上相异两点，且满足
．

（Ⅰ）若
的中垂线经过点
，求直线
的方程；

（Ⅱ）若
的中垂线交
轴于点
，求
的面积的最大值及此时直线
的方程．

21（20）（14分）若对于正整数
,
表示
的最大奇数因数，例如
，
.设
．

（Ⅰ）求
,
的值；（Ⅱ）求
，
，
的值；（Ⅲ）求数列
的通项公式．

KS5U2013重庆省高考压轴卷

数学（理）试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

（1）D （2）A （3）B （4） C （5） C（6）B

（7）B （8）C （9）B （10） D

1.解析：
，

故
.应选D.

命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题.

2.解析：

.应选A.

另解：由
可得
.

命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算.

3.解析：由
可得

应选A.

命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识.

4.解析：
：函数
在R为增函数为真命题，而函数
为偶函数，则
在R不可能为减函数，
：函数
在R为减函数为假命题，则
为假命题，
为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C.

命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.

5.解析：C

6.解析：当
时，则
，由偶函数满
足
可得，

，则
，

令
，可解得
.应选B.

另解：由偶函数满
足
可得
，

则
，要使
，只需

解得
.应选B.

命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力.

7. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为
的正三棱柱，则其外接球的半径为

，球的表面积为
，应选B.

命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.

8.解析：作出函数
的图象如右图，

不妨设
，则

则
.应选C.

命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.

9.解析： 由双曲线
的中心为原点，
是
的焦点可设双曲线的方程为

，设
，即

则
，则
，

故
的方程式为
.应选B.

命题意图：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，涉及中点问题可以利用点差法进行求解，也可以利用直线与双曲线的方程联立，借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力.

10、解析：图像法求解。
的对称中心是（1,0）也是
的中心，
他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为
，则
，所以选D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

（11）解析：

（12）解析：画出区域图知，

当直线
过
的交点(4,-5)时，

（13）解析：由
得a=4.c=
,从而b=8,
为所求。

（14）解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=
,

OM=
，
.

（15）

解析：
,
,

；

，故最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.解（Ⅰ）由正弦定理得
……5

（Ⅱ）在
中，

由余弦定理，

有题知关于AC的一元二次方程应该有解，……7

令

或者
……9

……11

17. 解：设
表示第
辆车在一年内发生此种事故，
．

由题意知
，
，
独立，

且
，
，
．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

．

（Ⅱ）
的所有可能值为
，
，
，
．

，