2013湖南省高考压轴卷数学文

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时间120分钟，满分150分。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)

1.复数
的共轭复数是

A．－3－4i B． －3+4i C． 3－4i D． 3+4i

2．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知数列
满足:
，则
（ ）

A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-1

4.对x∈R，“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )

(A)
，使得f(x0)>0成立 （B)
，使得f(x0）≤0成立

(C)
，f(x)>0 成立 （D)
，f(x)≤0 成立

5．过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F且倾斜角为60o的直l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则
（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

6．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

（ ）

A．i≤30？和p＝p＋i－1

B．i≤31？和p＝p＋i＋1

C．i≤31？和p＝p＋i

D．i≤30？和p＝p＋i

7．已知
是单位圆上的动点，且
，单位圆的圆心为，则
（）

A．
B．
C．
D．

8．在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a
α，则a∥β

9．函数y＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为 ( )

A．y＝ex B．y＝x－1＋e

C．y＝－2ex＋3e D．y＝2ex－e

二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10．已知实数X,满足约束条件
，则目标函数Z=X-y的最小值等于______.

11.已知
，且满足
，那么
的最小值是

12.在极坐标系中，点A的坐标为
曲线c的方程 为
，则0A (O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为____.

13．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ．

14.已知双曲线C:
与抛物线y2=8x有公共的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C的离心率为2，则|MF|=_____.

15. 给出下列四个命题：

①命题
，则
,

②当
时,不等式
的解集为非空；

③当X>1时，有

④设有五个函数.
，其中既是偶函数又在
上是增函数的有2个.

其中真命题的序号是_____.

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

(1)求的值；

(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.

17. (本小题满分12分）

某学校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情 况，在这批树苗中随机抽取了 50棵测量高度(单位:厘米），其统计数据如下表所示：

将频率作为概率，解决下列问题：

(I）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65厘米的概率是多少？

(II)为进一步了解这批树苗的情况，再从高度在[35,45)中的树苗A，B，C中移出2棵， 从高度在[85，95]中的树苗D，E，F，G，H中移出1棵进行试验研究，则树苗A和树苗D同时被移出的概率是多少？

18.（本题满分12分）

已知函数f(x)=xlnx，g

(I) 求函数f(x)的单调区间和最小值

（II）若对一切
恒成立，求实数a的取值范围。

19. （本题满分13分）

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．

(1)证明：PF⊥FD；

(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

20.（本题满分13分）

设满足以下两个条件的有穷数列a1, a2,…… an为n（n=2,3,4,……）阶“梦想数列”：

① a1+a2 +a3 +……+an =0 ②|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=1

⑴分别写出一个单调递增的3阶和4阶“梦想数列”；

⑵若某21阶“梦想数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；

⑶记n阶“梦想数列”的前k项和为sk（k=1,2,3，……，n）试证：|sk|≤

21. (本小题满分13分）

设椭圆
的左、右顶点分别为A、B，点p在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.

(1) 若直线AP与BP的斜率之积为
，求椭圆的离心率；

(2)对于由(1)得到的椭圆C，过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0)，交x轴于点M， 若
，求直线l的斜率.

2013湖南省高考压轴卷数学文数学文答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

A

C

C

A

C

D

C

D

D



填空题

10. -1 11.
12.
13.  14. 5 15. ③

三．解答题

16解： (1)由正弦定理，设＝＝＝k，

则＝＝.

所以＝

即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝2sinA.因此＝2. 6分

(2)由＝2得c＝2a.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，

得4＝a2＋4a2－4a2×

解得a＝1，从而c＝2

又因为cosB＝，且0

因此S＝acsinB＝×1×2×＝. 12分

17.解：⑴∵在65cm以上的频数为15+10+5+30 ……2分

∴在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65cm的概率为

P1=
=
……5分

⑵事件“从(35,45)中移出2棵树苗，事件从(85,95)中移出1棵树苗，”包含的基本事件是15个，其中满足在(35,45)中和(85,95)中的树苗同时被移出的事件共2个 ……10分

∴其概率p2=
12分

18．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为
.

∵
，令
，解得：
………………3分

当
＜0；当
＞0 .

∴函数f（x）的单调递减区间是
，单调递增区间是
.……5分

且f最小值（x）= f极小值（
）
. ………………………………………6分

（Ⅱ）对一切
恒成立，

即：对一切
恒成立，…………9分

令
，则

令
，解得：
（舍） …………………………10分

当
＜0；当
＞0

当
时，h（x）取得最小值
.

∴≤h最小值（x）=4，∴实数的取值范围是
. ………………12分

19.(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则

A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，∵
＝(1,1，－t)，
＝(1，－1,0)，

∴
＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD. 4分

(2)解：设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，

由
得

令z＝1，解得：x＝y＝.

∴n＝.

设G点坐标为(0,0，m)，E，则
＝，

要使EG∥平面PFD，只需
·n＝0，即×＋0×＋1×m＝m－＝0，得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求． 8分

(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴
是平面PAD的法向量，易得
＝(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，PA＝1，平面PFD的法向量为n＝.

∴cos〈
，n〉＝
＝＝.

故所求二面角A-PD-F的余弦值为. 13分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）数列
为单调递增的三阶“梦想数列”，

数列
为单调递增的四阶“梦想数列”. …………………4分

（Ⅱ）设等差数列的公差为d，
，

21
+
,所以
，

即
，
,

d=
,
,
(n
,
) ……………………………9分

（Ⅲ）当k=n时，显然
成立 …………………………………………10分

当k

，

即
，

,

………………………………………13分

21.解: (1) 由已知
,设
. …………1分

则直线
的斜率
,

直线
的斜率
.

由
,得
. …………2分

…………3分

,得
, …………4分

. …………5分

椭圆的离心率
. …………6分

(2) 由题意知直线
的斜率存在. …………7分

设直线
的斜率为
, 直线
的方程为
…………8分

则有
，

设
，由于
三点共线，且

根据题意，得
…………9分

解得
或
…………10分

又点在椭圆上，又由（1）知椭圆
的方程为

所以
…………①

或
…………②

由①解得
，即
,

此时点与椭圆左端点重合,
舍去; …………11分

由②解得
，即
…………12分

直线直线
的斜率
. …………13分