2013湖南省高考压轴卷数学理

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟，满分150分。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合
，
时，
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.复数
的实部是 （ ）

A.2 B.4 C.3 D.-2

3.已知函数
，则
? (??? )

A．32 B．16? ?????C.
D．

4.已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于【全,品…中&高*考*网】

A．
B.
C.
D.

5.已知两个非零向量
与
，定义
，其中
为
与
的夹角．

若
，
，则
的值为

A．
B．
C．8 D．6

6.在空间给出下面四个命题（其中
、
为不同的两条直线，
、
为不同的两个平面）

①

，
//


②
//
，
//


//

③
//
，
，
//


④
，
//
，
//
，
//
，
//


//

其中正确的命题个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7.如图是计算
的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）

A．
B．
C．
D．

8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．2
B．

C．（2
＋1）π D．（2
＋2）π

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9. 若曲线的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .

10．有一根长为3π cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为

11.已知
，且满足
，那么
的最小值是

（二）必做题（12～16题）

12.已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，且
=2c，若点P在椭圆上，且满足
，则该椭圆的离心率e等于

13. 为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.026，则所得到的统计学结论是：有 的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”( )

附：P(χ2≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828



14.已知实数
满足不等式组
,且
的最小值为
,则实数
的值__。

15.若
，则
.

16.已知函数
的对称中心为M
，记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则有
.若函数
，

则可求得：


.

三．解答题（共75分，前4题12分，第20题13分，第21题14分）

17.( 本小题满分12分)已知
与
共线，其中A是△ABC的内角． （1）求角A的大小；

（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.

18.( 本小题满分12分)某次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为
(假定每次通过率相同).

(1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;

(2) 求运动员甲参加测试的次数??的分布列及数学期望(精确到0.1).

19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，底面
为菱形，
，
,且
，
平面
，
底面
.【全,品…中&高*考*网】

（Ⅰ）求二面角
的大小；【全,品…中&高*考*网】

（Ⅱ）在
上是否存在一点
，使得

平面
，若存在，求
的值，若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）已知函数
(
为常数)是实数集
上的奇函数,函数
是区间
上的减函数。

（1）求
在
上的最大值；

（2）若
对
及
恒成立,求
的取值范围；

（3）讨论关于
的方程
的根的个数。

21.（本小题满分13分）设
分别为椭圆
的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,
)到F1，F2两点的距离之和等于4.

⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；

⑵过点P（1，
）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;

⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

22. （本小题满分14分）

数列
的前
项和为
，
，

，等差数列
满足

.

（1）分别求数列
，
的通项公式；

（2）设
，求证
．

KS5U2013湖南省高考压轴卷数学理答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

D

C

A

A



填空题

9.

10. 5πcm 11.
12.
13. 99%

14. 6 15. -1 16. -8046

三．解答题

17.解：（1）因为m//n,所以
.

所以
，即
，

即?
. …………………4分

因为
, 所以
. 故
，
.……6分

（2）由余弦定理，得
.

又
， …………………8分

而
，（当且仅当
时等号成立） …………10分

所以
. ………………………11分

当△ABC的面积取最大值时，
.又
，故此时△ABC为等边三角形.…12分

18.

⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7 1分

运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.21 3分

所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 4分

⑵ξ的可能取值是1,2,3,4 5分

P（ξ=1）=0.7；P（ξ=2）=0.21；

P（ξ=3）=0.063； P（ξ=4）=0.027； 9分

所以ξ的分布列为：

ξ

1

2

3

4



P

0.7

0.21

0.063

0.027



所以Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027≈1.4 12分

19.解：（I）设
与
交于
，如图所示建立空间直角坐标系
，设
，则，
设
则，

……2分

解得
，……4分

，设平面
的法向量为
，

则
，
令
，

……6分

又平面
的法向量为

所以所求二面角的大小为
…………………………………8分

（Ⅱ）设
得

……10分

，
，解得
，

存在点
使
面
此时
…………12分

20.（1）
是奇函数，

则
恒成立.

又
在[－1，1]上单调递减，

（2）
在
上恒成立,

令
则

.

（3）由（1）知

令
，

，

当
上为增函数；

上为减函数，

当
时，

而