2013福建省高考压轴卷 数学文试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：球的体积公式：
其中
为球的半径

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

1、设集合
，
,
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是（　　）

A．70 B．60

C．30 D．80

3、若
,则（　　）

A．
B．

C．
D．

4、右边程序执行后输出的结果是
（　　）

A．3 B．6

C．10 D．15

第4题图

5、已知函数
,则
（　　）

A．
B．9 C．
D．

6、将函数
的图像向左平移
个单位长度，所得函数是（　　）

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

7、“函数
存在零点”的一个必要不充分条件是（　　）

A．
B．
C．
D．

8、过点
作圆
的两条切线
，

，
为切点），则
（　　）

A．
B．
C．
D．

9、角
的终边经过点A
，且点A在抛物线
的准线上，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

10、函数
的图象大致为（ ）

11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，

尺寸如图，那么这个几何体的外接球的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

12、非空数集
中，所有元素的算术平均数记为
，即

．若非空数集
满足下列两个条件：①
；②
，则称

为
的一个“保均值子集”．据此，集合
的“保均值子集”有（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答卷相应位置上）

13、在复平面上,若复数
对应的点恰好在实轴上,则
_______.

14、焦点在
轴上，渐近线方程为
的双曲线的离心率为_______.

15、已知函数
，当
时，
取得最小值
，则
_______.

16、定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足下述条件:

①
； ②若
，
； ③
；

则
_______.

三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答）

17．（本题满分12分）

函数
(
)的部分图像如右图所示.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）
中，角
的对边分别为
，若
，

其中
，且
，求角
的大小.

18．（本题满分12分）

设
为等差数列，
为数列
的前
项和，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

19．（本题满分12分）

已知向量

（Ⅰ）若
，求向量
的概率；

（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组
构成区域
：
，求二元数组
满足

1的概率.

20．（本题满分12分）

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，
，
,现将梯形沿CB、DA折起，使EF//AB且
，得一简单组合体
如图（2）所示，已知
分别为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

图（1）

图（2）

21．（本题满分12分）

已知函数

．

（Ⅰ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；

（Ⅱ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

22．（本题满分14分）

已知抛物线
的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于
轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q，且
.

（Ⅰ）求点T的横坐标
；

（Ⅱ）若椭圆C以F1,F2为焦点，且F1,F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1.

① 求椭圆C的标准方程；

② 过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，设
，若
的取值范围.

KS5U2013福建省高考压轴卷 数学文试题答案

选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）

1、D 2、C 3、C 4、B 5、A 6、B

7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．）

13、0 14、
15、6 16、

三、解答题（本大题有6小题，共74分．）

17. 解：（Ⅰ）由图像可知
………2分

且
∴
………4分

∴
………5分

故函数
的解析式为
………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
………7分

………8分

由余弦定理得：
………9分

………10分

从而


………12分

18. 解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为

依题意得
………2分

解得
. ………5分

∴
………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
………7分

∴

………9分

………11分

………12分

19. 解：（Ⅰ）从
取两个数
的基本事件有

，共9种 …………2分

设“向量
”为事件

若向量
，则
…………3分

∴事件
包含的基本事件有
，共2种 …………5分

∴所求事件的概率为
…………6分

（Ⅱ）二元数组
构成区域

设“二元数组
满足

1”为事件

则事件

如图所示

…………9分

∴所求事件的概率为
…………12分

20. 解：（Ⅰ）证明：连结
，∵四边形
是矩形，
为
中点，

∴
为
中点，

在
中，
为
中点

∴

∵
平面
，
平面

平面
…………4分

（Ⅱ）证明：依题意知
且

∴
平面
…………6分

∵
平面

∴
…………7分

∵
为
中点，∴

结合
，知四边形
是平行四边形 …………9分

∴
，

而
，

∴
∴
，即
…………11分

又

∴
平面
…………12分

21. 解：（Ⅰ）由已知

令
，解得
或

不在(a，a 2-3)内

要使函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需

解得
…………6分

（Ⅱ）

在（0，2）上恒成立，即函数数y=f(x)在（0，2）内单调递减

又

函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点 …………12分

22. 解：（Ⅰ）由题意得
，
，设
，

则
，
.

由
，

得
即
，① …………………3分

又
在抛物线上，则
，②

联立①、②易得
……………………5分

（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为
，由题意得
，

设椭圆
的标准方程为
，

由
，解得
…………………6分

从而

故椭圆
的标准方程为
……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易验证直线
的斜率不为0，设直线
的方程为

将直线
的方程代入
中得：
.………………8分

设
，则由根与系数的关系，

可得：
⑤

⑥ …………………9分

因为
，所以
，且
.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以
……………………………………………………………11分

因为
，所以
，

又
，所以
，

故

，

令
，因为
所以
，即
，

所以
.

而
，所以
.

所以
.……………………………………………………14分

方法二：

1）当直线
的斜率不存在时，即