2013湖北省高考压轴卷文科数学

本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）

2.下列四个命题中真命题的个数是（ ）

①“
”是“
”的充分不必要条件；

②命题“
”的否定是“
”；

③“若
，则
”的逆命题为真；

④命题
，命题
，则
为真.

3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示.他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（ ）

4.已知函数
（其中
为自然对数的底数），则函数
的大致图象为（ ）

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
值是（ ）

6.已知变量
满足
则
的取值范围是（ ）

7.如图，正五边形
的边长为2，甲同学在
中用余弦定理解得
，乙同学在
中解得
，据此可得
的值所在区间为（ ）

8.如图，矩形
中，点
为边
的中点，点
为边
的中点，
和
相交于点
，若在矩形
内部随机取一个点
，则点
取自
内部的概率等于（ ）

9.已知双曲线
右支上的一点
到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为
，则双曲线的离心率为（ ）

10.在
中，
，
是
的内心，若
,其中
，动点
的轨迹所覆盖的面积为（ ）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在题中横线上．

11.已知复数
（
是虚数单位），若
为纯虚数，则实数
的值是_______________________.

12. 已知函数
满足
，且
，
分别是
上的偶函数和奇函数，若
使得不等式
恒成立，则实数
的取值范围是

13.已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是________________.

14.如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_______________. （第13题图）

15.记

，当
…时，观察下列等式：

（第14题图）

…

可以推测
_____________________.

16.已知不等式
.

（1）若
，则不等式的解集为_______________;

（2）若不等式的解集不是空集，则实数
的取值范围为________________.

17.已知函数
则

（1）
______________;

（2）下列三个命题中，所有真命题的序号是__________.

①函数
是偶函数；

②任取一个不为零的有理数
,
对任意的
恒成立；

③存在三个点
，使得
为等边三角形.

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分12分）

已知
.

（1）求
的最小正周期和单调递减区间；

（2）将函数
的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象.在
中，角
的对边分别为
，若
，求
的值.

19. （本小题满分12分）

已知等差数列
的公差
大于0，且
是方程
的两根，数列
的前
项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）记
，求证：
；

（3）求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分13分）

如图，
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
、
分别是
、
的中点，
.

证明：
；

（2）求四棱锥
与圆柱
的体积比；

（3）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.

21. （本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，离心率
，且其中一个焦点与抛物线
的焦点重合.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的动直线
交椭圆
于
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得无论
如何转动，以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求函数
的最大值；

（2）若函数
与
有相同极值点，

①求实数
的值；

②若对于
（
为自然对数的底数），不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

KS5U2013湖北省高考压轴卷文科数学答案

1.

【解析】：对于
，等价于
，解得
，所以
集合
表示函数
的定义域，由
，得
，故
，则阴影部分表示
.故选
.

2.

【解析】：命题①中，
是不等式
的解集
的真子集，
“
”是“
”的充分不必要条件，
①正确.命题②显然正确.命题③中，当
时，其逆命题不成立，故③错.命题④中，
为真，
为假，所以
为真，故④正确.综上所述，真命题的个数为3.故选
.

3.

【解析】：本题考查茎叶图、平均数.甲的平均分为
，设看不清楚的数字为
，则乙的平均分为
，解得
，因为
，
，所以
，看不清楚的数字为0.故选
.

4.

【解析】据已知关系式可得
作出其图象，再将所得图象向左平移1个单位即得函数
的图象.故选
.

5.

【解析】：第一次循环结束时，
；第二次循环结束时，
；第三次循环结束时，
，此时
，不满足
，则输出
.故选
.

6.

【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即
的边界及其内部，又因为
，而
表示可行域内一点
和点
连线的斜率，由图可知
，根据原不等式组解得
,所以

.故选
.

7.

【解析】：因为
，令
，则
，所以
.令
，则当
时，
，所以
在
上单调递增.又因为
，所以
在
上有唯一零点，所以
的值所在区间为
.故选
.

8.

【解析】：设矩形
的长
，宽
，涉及相关图形的面积问题，那么矩形
的面积为
.如图所示，过
点作
//
交
于点
，则有
,即
，亦即
.又