2013海南省高考压轴卷

数学理

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱锥底面积，h表示棱锥的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱台的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 棱台的体积公式

球的表面积公式 其中
分别表示棱台的上、下底面积，

h表示梭台的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数

（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2

2．设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（　　）

A、[1，2） B、[1，2]

C、（2，3] D、[2，3]

3．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（　　）

A、若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B、若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3

C、若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D、若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3

4．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）

A、﹣9 B、﹣3

C、9 D、15

5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A．
B．

C．
D．

6．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan
的值为（　　）

A、0 B、

C、1 D、

7．设
是正数，且
，

，
，

则

A．
B．

C．
D．

8．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（　　）

A、11 B、10

C、9 D、8.5

9．函数
的图象大致是（　　）

A、
B、

C、
D、

10．如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．

其中真命题的个数是 （　　）

A、3 B、2

C、1 D、0

11．已知二次函数
的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．
B．

C．
D．

12．设M（x0，y0）为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（　　）

A、（0，2） B、[0，2]

C、（2，+∞） D、[2，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线
和椭圆
有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

14．某公司甲、乙、丙、丁四个部门分别有150、150、400、300名员工，为了解员工对工作的热情，用分层抽样的方法从该公司这四个部门共抽取40名学生进行调查，应在丙部门抽取的员工人数为　16　．

15．设函数f(x)=x-
,对任意x
恒成立，则实数m的取值范围是________

16．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则 =________________

三、解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．

第一列

第二列

第三列



第一行

3

2

10



第二行

6

4

14



第三行

9

8

18



（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：bn=an+（﹣1）lnan，求数列{bn}的前2n项和S2n．

18．（本小题满分12分）

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数
的分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．

（Ⅰ）证明：AA1⊥BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为，过点作直线
与抛物线交于、两点，抛物线的准线与轴交于点
．

（1）证明：
；

（2）求
的最大值，并求
取得最大值时线段
的长．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）若
是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（2）若
在定义域上有两个极值点

、
，证明：

22．（本小题满分10分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

2013海南省高考压轴卷数学理

参考答案

一、选择题： DAACA DCBCA BC

1. 答案：D

解析：

2. 答案：A

考点：交集及其运算。

分析：根据已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．

解答：解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）

N={x|1≤x≤3}=[1，3]，

∴M∩N=[1，2）

3. 答案：A

考点：四种命题。

分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．.

解答：解：根据四种命题的定义，

命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是

“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”

4．答案：C

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。

分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标．

解答：解：∵y=x3+11∴y'=3x2

则y'|x=1=3x2|x=1=3

∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0

令x=0解得y=9

∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9

5. 答案：A

考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.

解析：令
，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为
，围成OC为
，作对称轴OD，则过C点。
即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，
。在扇形OAD中
为扇形面积减去三角形OAC面积和
，
，
，扇形OAB面积
，

6. 答案：D

考点：指数函数的图像与性质。

分析：先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．

解答：解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，

解得a=2．

∴
=
．

7. 答案：C

考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.

解析：由于

等号成立当且仅当
则a=t x b=t y c=t z ，

所以由题知
又

8. 答案：B

考点：二元一次不等式（组）与平面区域。

分析：首先做出可行域，将目标函数转化为
，求z的最大值，只需求直线l：
在y轴上截距最大即可．

解答：解：做出可行域如图所示：

将目标函数转化为
，求z的最大值，

只需求直线l：
在y轴上截距最大即可．

作出直线l0：
，将直线l0平行移动，当直线l：
经过点A时在y轴上的截距最大，故z最大．

由
可求得A（3，1），所以z的最大值为2×3+3×1+1=10

9. 答案：C

考点：函数的图象。

分析：根据函数
的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．

解答：解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0

故函数图象过原点，

可排除A

又∵y'=

故函数的单调区间呈周期性变化

分析四个答案，只有C满足要求

10. 答案：A

考点：简单空间图形的三视图。

分析：由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断①的对错，由四棱柱的三视图中，三个均矩形，可判断②的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断③的真假．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．

解答：解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故①为真命题；

存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；

对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故③为真命题；

11. 答案：B

考点分析：本题考察利用定积分求面积.

解析：根据图像可得：
，再由定积分的几何意义，可求得面积为
.

12. 答案：C

考点：抛物线的简单性质。

分析：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围

解答：解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y0+2＞4，所以y0＞2

二、填空题：

（13）
=1 （14）16 （15）m<-1 （16）

13. 考点：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质。

分析：先利用双曲线
和椭圆有相同的焦点求出c=
，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程．

解答：解：由题得，双曲线
的焦点坐标为（
，0），（﹣
，0），c=
：

且双曲线的离心率为2×
=
=
?a=2．?b2=c2﹣a2=3，

双曲线的方程为
=1．

故答案为：
=1．

14. 考点：分层抽样方法。

分析：根据四个部门各有的人数，得到公司的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙部门的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙部门要抽取的人数．

解答：解：∵公司甲、乙、丙、丁四个部门分别有150、150、400、300名员工

∴本公司共有员工150+150+400+300=1000，

∵用分层抽样的方法从该公司这四个部门共抽取40名员工进行调查

∴每个个体被抽到的概率是
=
，

∵丙部门有400人，

∴要抽取400×
=16

故答案为：16

15. 考点分析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

已知f（x）为增函数且m≠0

若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。

M<0，时有
因为
在
上的最小值为2，所以1+
即
>1,解得m<-1.

16. 解析：由图可知，

答案：

三、解答题：

（17）考点：数列的求和；等比数列；数列递推式。

专题：计算题。

分析：本题考查的是数列求和问题．在解答时：

（Ⅰ）此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简，然后结合通项的特点，利用分组法进行数列{bn}的前2n项和的求解．

解答：解：（Ⅰ）当a1=3时，不符合题意；

当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意；

当a1=10时，不符合题意；

所以a1=2，a2=6，a3=18，

∴公比为q=3，

故：an=2?3n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）∵bn=an+（﹣1）nlnan

=2?3n﹣1+（﹣1）nln（2?3n﹣1）

=2?3n﹣1+（﹣1）n[ln2+（n﹣1）ln3]

=2?3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）nnln3

∴S2n=b1+b2+…+b2n

=2（1+3+…+32n﹣1）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣1）2n]?（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）2n2n]ln3

=

=32n+nln3﹣1

∴数列{bn}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1．

（18）解：（Ⅰ） (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,

所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．

（Ⅱ） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0,1,2；

P(x=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(x=2)=
=

X的分布列为

0

1

2















.

（19）考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系。

专题：数形结合。

分析：（Ⅰ） 由D1D⊥平面ABCD，可证 D1D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD2，勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD1A1，再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA1．

（Ⅱ）连接AC和A1C1，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC1A1为平行四边形，可得CC1∥A1E，再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD．

解答：证明：（Ⅰ）∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥BD． 又AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°，△ABD 中，

由余弦定理得 BD2=AD2+AB2﹣2AB?ADcos60°=3AD2，∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD，又 AD∩DD1=D，∴BD⊥面ADD1A1．

由 AA1?面ADD1A1，∴BD⊥AA1．

（Ⅱ）证明：连接AC 和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的

中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，

故ECC1A1为平行四边形，∴CC1∥A1E，而A1E?平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD

（20）解：（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋，

代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．

y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2．

不妨设y1＞0，y2＜0，则

tan∠ACF＝＝＝＝＝，

tan∠BCF＝－＝－，

∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．

（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝≤＝1，当且仅当y1＝p时取等号，

此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．

（21）解：（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax2＋x，

f((x)＝－－2ax＋1＝－．

令Δ＝1－8a．

当a≥时，Δ≤0，f((x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．

当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，

不妨设x1＜x2，

则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f((x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f((x)＞0，

这时f(x)不是单调函数．

综上，a的取值范围是[，＋∞)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，

且x1＋x2＝，x1x2＝．

f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2

＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)

＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．

令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，

则当a∈(0，)时，g((a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，

所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2．

（22）

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得

，

所以椭圆
的标准方程为

（Ⅱ）设
，其中
。由已知
及点在椭圆
上可得

。

整理得
，其中
。

（i）
时。化简得

所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）
时，方程变形为
，其中

当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足