2013浙江省高考压轴卷?数学理试题

本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件
，
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
，
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

棱台的体积公式

球的表面积公式

球的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示球的半径
表示棱台的高

选择题部分

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
=

A．-3 -4i B
．-
3+4i C．3-4i
D．3+4i

2．设集合
，则满足条件
的集合P的个数是

A． 1 B．3 C．4 D．8

3．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．8 B．

C．
D．

4.等比数列{an}中，“公比q>1”是“数列{an}单调递增”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数
的图象 ( )

A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

6．设变量x、y满足
则目标函数z=2x+y的最小值为

A．6 B．4 C．2 D．

7. 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

8. 已知直线
,平面
,且
,给出下列命题:

①若
∥
，则m⊥
； ②若
⊥
，则m∥
;

③若m⊥
，则
∥
； ④若m∥
，则
⊥

其中正确命题的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知数列
的前
项和
满足：
，且
，那么
( )

A． 1 B． 9 C．10 D．55

10. 已知直线
，且
于
，
为坐标原点，则点
的轨迹方程为( )

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．
展开式中
的系数为 (用数字作答) ．

12．执行右面的框图，若输出结果为
，则输入的实数
的值是____.

13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．

14．已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，则a10=____________.

15．已知
…，若
（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .

16． P是圆C：
上的一个动点，A(
,1)，则
的最小值为______

17．若函数f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域为
，则a=_________

三、解答题本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）已知函数
的最大值为2.

（1）求函数
在
上的单调递减区间;

（2）△ABC中,
,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60(，c=3，求△ABC的面积。

19．（本小题满分14分）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）（1）求
；（2）求E（X）

20．（本小题满分15分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
⊥底面
，侧棱
与底面
成60°的角，
．底面
是边长为2的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．

（1）求证：
//侧面
；

（2）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值；

（3）在直线
上是否存在点T，使得
？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分15分）在周长为定值的(DEC中，已知|DE|=8，动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时，cosC有最小值
.

(1) “以DE所在直线为x轴，线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程”.

2）直线l分别切椭圆G与圆M：x2+y2=R2（其中3

22．（本小题满分14分）已知函数
，
.

（1）若函数
依次在
处取到极值。

①求
的取值范围；

②若
，求
的值。

（2）若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立。求正整数
的最大值。

KS5U2013浙江省高考压轴卷?数学理试题

题号

一

二

18

19

20

21

22

总分



分数



















一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11． 12．

13． 14．

15． 　 16．

17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效

19．



20．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效

21．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效

22．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效

KS5U2013浙江省高考压轴卷?数学理答案

1．【答案】A

【解析】解：因为
，故选A

2．【答案】C

【解析】：
，由
得，0(P，这样的集合P共有4个，故选C

3．【答案】C

【解析】几何体是正方体截去一个三棱台，

4. 【答案】D

【解析】a1<0，q>1时,{an}递减。a1<0，0

5． 【答案】D

【解析】

是偶函数，图像关于y轴对称.

6．【答案】 C

【解析】由题意可得，在点B处取得最小值，所以z=2，故选C

7. 【答案】A

【解析】　若四个数之和为奇数，则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数。若1奇数3个偶数，则有
种，若3个奇数1个偶数，则有
，共有
种.

8. 【答案】B

【解析】①④对，②③错

9．【答案】A

【解析】
，可得
，
，可得

，同理可得
，故选A.

10. 【答案】A

【解析】设
，
于
，
，即
，选A

11．【答案】10

【解析】
，10-3r=4，r＝2，代入得

12. 答案：

【解析】若执行
，则
，所以不成
立，

若执行
，则
，成立

13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．

【答案】＋＝1　

【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

因为离心率为，所以＝，解得＝，即a2＝2b2.

又△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a，，所以4a＝16，a＝4，所以b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.

14.【答案】1023

【解析】累加法.

15.【答案】41

【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35

16．【答案】2(
-1)

【解析】如图：作PQ(OA于Q，CD(OA于D，根据向量数量积的几何意义得

min=|OA|(|OQ|min=|OA|(|OT|=2 (|OD|-1)=2(
-1)

17．【答案】1

【解析】显然h(x)= 2x2-a2x-a，g(x)= lgx正负号一致，且h(1)=g(1)=0，∴a=-2或1

经检验得a= 1

18．【解析】（1）由题意，
的最大值为
，所以
．

而
，于是
，
．

为递减函数，则
满足

，

即

．

所以
在
上的单调递减区间为
．

（2）设△ABC的外接圆半径为
，由题意，得
．

化简
，得

．

由正弦定理，得
，
． ①

由余弦定理，得
，即
． ②

将①式代入②，得
．

解得
，或
（舍去）．

．

19．【解析】解：⑴从六点中任取三个不同的点共有
个基本事件，

事件“
”所含基本事件有
，从而
．

⑵
的分布列为：























则
．

答：
，
．

20．【解析】解法1：（1）延长B1E交BC于点F，
∽△FEB，BE=
EC1，∴BF=
B1C1=
BC，

从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且
，

又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，

∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH
．在Rt△B1HT中，
，

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
．

（3）（2）问中的T点即为所求，T在AG的延长线上，距离A点
处.

解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图，

则
，
，
，
，
，
．

∵G为△ABC的重心，∴
．
，∴
，

∴
． 又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）设平面B1GE的法向量为
，则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，则
．

由于
为锐角，所以
，进而
．

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
．

（3）
，设
，

，

由
，
，解得

所以存在T在AG延长线上，
.

21．【解析】(1)设 |CD|+|CE|=2a (a>8)为定值，所以C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆，所以焦距2c=|DE|=8.

因为

又
，所以
，由题意得
.

所以C点轨迹G 的方程为

（2）设
分别为直线
与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为：

因为A既在椭圆上，又在直线AB上， 从而有
，

消去
得：

由于直线与椭圆相切，故

从而可得：
①
②

由
消去
得：

由于直线与圆相切，得
③
④

由②④得：
由①③得：

即
，当且仅当
时取等号，所以|AB|的最大值为2。

22. 【解析】

（1）①

②

（2）不等式
，即
，即
。

转化为存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立。

即不等式
在
上恒成立。

即不等式
在