2013广东省高考压轴卷?数学理试题

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．

参考公式：

锥体的体积公式：
（
是锥体的底面积，
是锥体的高）

球体体积公式：
(是半径)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1、设全集R，
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知复数z的实部为
，虚部为2，则
= （ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知
，则“
”是“
恒成立”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4、函数
（ ）

A．是偶函数，且在
上是减函数； B．是偶函数，且在
上是增函数；

C．是奇函数，且在
上是减函数； D．是奇函数，且在
上是增函数；

5、已知
，A是曲线
与
围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （　　）

A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9

7、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

8、称
为两个向量
间的距离。若
满足：①
②
； ③对任意的
恒有
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）

9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容

量为___________

10、设
满足约束条件
,则
的

最大值是_________.

11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥

的体积为 .

12、若
，且
，则

13、定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足下述条件:①
；②若
，
；

③
， 则
，
．

选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14、已知曲线
的参数方程为
（0≤θ＜π），直线
的极坐标方程为
，
，则它们的交点的直角坐标为　_____　．

15、如图，直线
与

相切于点
，割线
经过

圆心
，弦
⊥
于点，
，
，则

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数
，
（其中
），其部分图像如图所示．

(1) 求函数
的解析式；

(2) 已知横坐标分别为
、、
的三点

、
、都在函数
的图像上，求
的值．

17. （本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于
为正品，小于
为次品．现随机抽取这两种元件各
件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A













元件B













（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记
为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

18．（本题满分13分）如图甲，直角梯形
中，
，
，点
、
分别在
，
上，且
，
，
，
，现将梯形
沿
折起，使平面
与平面
垂直（如图乙）．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
的长为何值时，二面角
的大小为
？

19.（本小题满分14分）

设数列
的前项和为
，且满足

．

（I）求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）设
,求证：
．

20．（本小题满分14分）动圆P在x轴上方与圆F：
外切,又与x轴相切.

（1）求圆心P的轨迹C的方程；

（2）已知A、B是轨迹C上两点，过A、B两点分别作轨迹C的切线，两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N，是否存在
使得
（F为圆F的圆心）；

（3）在(2)的条件下，若轨迹C的切线BM与y轴交于点R，A、B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值．

21.（本小题满分14分）
.

(1)若
求
的单调区间及
的最小值;

(2)若
,求
的单调区间;

(3)试比较
与
的大小.
,并证明你的结论.

2013广东省高考压轴卷?数学理试题答案

一．选择题（每题5分，共40分）

二．填空题（每题5分，共30分）

9、 15 10、____ __ 0 11、 2

12.
13、

14.
15.

1、

v

2、
，

3、
恒成立等价于
，即

4、
，得
为奇函数

得
在R上为增函数

5、区域A面积为

6、160~180是
到
，参与循环的是
，循环结束

是

7、先把两个女生选好在捆绑在一起

假设捆在一起的女生记为A,B，另一个女生记为C，两个男生记为甲乙，从左到右编号1~5

（一）A,B排在1,2号，那么甲可以选3,4.若甲选3，则C,乙无要求，有2种；如果甲选4号，则C只能选5号，有一种。则共3种情形

（二）A,B排在2,3号，那么甲只能选4号， C只能选5号，有一种。

（三）A,B排在3,4号，那么甲只能选2号， C只能选1号，有一种。

（二）A,B排在4,5号，情形同（一）共3种

则总数为N=6*8=48种

8、考察向量减法的三角法则，以及向量模的几何意义。

对任意的
恒有
，表明
是所有
中最短的一个，而垂线段最短，故有

9、
得n=15

10、线性规划，三角形区域，最优解（1,1）

11、四棱锥底面是直角梯形，面积为
，高为2，则体积为2

12、
得n=8，

13、解：根据定义得
。

，

，

，

所以根据归纳推理可知
。

14、在直角坐标系中：曲线
，直线

15、
,

连接OC，直角三角形OCP中

16.（本小题满分12分）

解：（1）由图可知，
， ………………………………………………………1分

最小正周期
所以
…3分

又
，且

所以
，
…………………5分

所以
． ……………………6分

(2) 解法一: 因为

，

所以
，…8分
，

从而
， …10分

由
，得
. …………………12分

解法二: 因为

， 所以
， …8分

,
,
,

则
. ………………………10分

由
，得
. ……………12分

17.【答案】（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为
． ………………1分

元件B为正品的概率约为
． ………2分

（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量
的所有取值为
． ………3分

　　　
；
；

；
．………7分

所以，随机变量
的分布列为:























………8分

． ………9分

（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有
件.

依题意，得
， 解得
．

所以
，或
． ………11分

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，

则
． ………13分

18.解法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC．……2分

同理MA//平面DNC，又MA
MB=M, 且MA,MB平面MAB．

． （6分）

（Ⅱ）过N作NH
交BC延长线于H，连HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN, …………………8分

DN平面MBCN，从而
,

为二面角D-BC-N的平面角．
=
…………………10分

由MB=4，BC=2，
知
60o，

．
sin60o =
…………………11分

由条件知：
………13分

?

解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系
易得NC=3，MN=
，

设
，则
．

（I）
．

，

∵
，

∴
与平面
共面，又
，
． （6分）

（II）设平面DBC的法向量

，

则
，令
，则
，

∴

． （8分）

又平面NBC的法向量

． （9分）

…………………11分

即：
又
即
…………………13分

19.（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）
，
， ……………2分

又
， ……………3分

是首项为
，公比为
的等比数列，且
．……………4分

（Ⅱ）当
时，
， ……………5分

当
时，


．

………………7分

故
． ………………8分

………………11分

………………12分

． ………………14分

20．解：（1）设P（x,y）由题意知