2013江苏省高考压轴卷

数学试题

注意：本试卷分必考和加试两部分。必考内容满分160分，答卷时间120分钟；选考内容满分40分，答卷时间30分钟。

第Ⅰ部分 必做题

（满分160分，答卷时间120分钟）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1．设全集
，
，
，则
=________。

2．设复数
为虚数单位），z的共轭复数为
=________。

3．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝ 。

4. 阅读右侧程序框图，输出的结果的值为_______。



5. 从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程
＝1表示双曲线的概率为________。

6. 已知直线
与曲线
相切，则的值为 _______。

7. 函数
的部分图象如图示，则将
的图象向右平移
个单位后，得到的图象解析式为________。

8. △ABC外接圆的半径为，圆心为
，且
，
，则
的值是______.

9. 已知函数
，
，
，则
的最小值等于 。

10. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=
,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为_______。

10.

11. 已知函数
(
)，如果

（
），那么
的值是 。

12. 已知A( —2，0)，B(0，2)，实数k是常数，M、N是圆
上不同的两点，P是圆.
上的动点，如果M、N关于直线X—y—1 = 0对称，则ΔPAB面积的最大值是 。

13. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则
的值为_______。

1



2







0.5



1











a













b













c





14.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：

①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4];

④“整数a，b属于同一‘类”的充要条件是“a-b∈[0]”

其中，正确结论的个数是 个

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，cos(A－B)=
．

(Ⅰ) 求sin B的值；

(Ⅱ) 求cos C的值．

16．（本小题满分14分）如图，已知空间四边形
中，
，是
的中点．



求证：（1）
平面CDE；

（2）平面
平面
．

（3）若G为
的重心,试在线段AE上确定一点F, 使得GF//平面CDE．

17.（本小题满分14分）如图所示，已知边长为
米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中

米，
米．为了合理利用这块钢板，将在五边形
内

截取一个矩形块
，使点在边
上．

（Ⅰ）设
米，
米，将表示成的函数，求该函数的解析

式及定义域；

（Ⅱ）求矩形
面积的最大值．

18．（本小题满分16分）在直角坐标系
上取两个定点
,再取两个动点

,且
.

（Ⅰ）求直线
与
交点的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知点
(
)是轨迹
上的定点，
是轨迹
上的两个动点，如果直

线
的斜率
与直线
的斜率
满足
，试探究直线
的斜

率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

19.（本小题满分16分）已知等差数列{an}的首项a1为a
．设数列的前n项和为Sn ，且对任意正整数n都有
．

(1) 求数列{an}的通项公式及Sn ；

(2) 是否存在正整数n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

20.(本小题满分16分)已知函数
.(
).

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若对
，有
成立，求实数的取值范围．

第Ⅱ部分 附加题

（满分40分，答卷时间30分钟）

21选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（几何证明选讲） 如图，已知
与圆
相切于点，直径
，连接
交
于点（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

B．（矩阵与变换）设矩阵
，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为
，属于特征值2的一个特征向量为
，求实数
的值．

C．（坐标系与参数方程）

已知曲线
的参数方程是
（为参数，
），直线
的参数方程是
（为参数），曲线
与直线
有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线
普通方程；

（Ⅱ）若点
在曲线
上，求
的值．

D．（不等式选讲）

已知函数
（
）．

（Ⅰ）当
时，已知
，求的取值范围；

（Ⅱ）若
的解集为
或
，求的值．

22．(本小题满分10分)抛物线
上有两点
且
(
为坐标原点)

（1）求证：
∥
(2)若
,求AB所在直线方程。

23．(本小题满分10分) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=
，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．

（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？

（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

2013江苏省高考压轴卷

数学试题参考答案

第Ⅰ部分 必做题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1．{1，2，3}

2．

3．2 .

4. 7

5.

6. 3

7.

8. 3

9.

10.

11.
.

12.

13. 1

14. 3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.

16．

17.

18．

19.

20.【答案】解：（1）当
时，

=
， --------------2分

令
，解得
.

当
时，得
或
；

当
时，得
.

当变化时，
，
的变化情况如下表：







1







+

0



0

+





单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增




第Ⅱ部分 附加题

（满分40分，答卷时间30分钟）

21.A．

证明：（Ⅰ）解法一：

∵PA与圆O相切于点A，∴

∵BC是圆O的直径，∴

∴
∵
，∴

又∵
∴

∴PA=PD

解法二：

连接OA

B．由题意得

化简得
所以

C．

D．

22．(本小题满分10分)抛物线
上有两点
且
(
为坐标原点)

（1）求证：
∥
(2)若
,求AB所在直线方程。

23．（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A
，C
，B1(0，0，3)，A1
，C1
，D
，E
．

所以
，

设AF＝x，则F(，0，x)，

.

，所以

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.

由
＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．

（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）．

设平面B1CF的法向量为
，则由
得

令z=1得
，

所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值