2013新课标高考压轴卷（二）

数学(理科)试题

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。

锥体的体积公式V=
，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).

事件A在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中事件A恰好发生
次的概率:
.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
.集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
（
是虚数单位），则

A．
B．
C．
D．

3. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为( )

A．24 B．80 C．64 D．240

4．已知向量
．若
为实数，
，

则

A．
B．
C．
D．

5.已知直线
，则“
”是“
的（ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

6（理）.已知
满足线性约束条件
，若
，
，则
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

（A）两个函数的图象均关于点
成中心对称

（B）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移
个单位即得②

（C）两个函数在区间
上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

8、春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”

能做到“光盘”



男

45

10



女

30

15



P(K2
k)

0.10

0.05

0.025



k

2.706

3.841

5.024



附：

参照附表，得到的正确结论是

(A)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

(B)在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

(C)在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

(D)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

9．现有四个函数：①
②
③
④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①

10、（理）已知x，y的取值如下表：

X

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7





从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为
，则
( )

A, 3.2， B. 2.6 C, 2.8 D. 2.0.

11．已知双曲线的方程为
，过左焦点
作斜率为
的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段
,则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知定义在
上的奇函数
满足
（其中
），且在

区间
上是减函数，令
，
，则（ ）

B、

C、
D、

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、执行如图所示的程序框图,输出的
值为 .

14．二项式
的展开式中含x5的项的系数是（ ）

15.过点M（—2，0）的直线m与椭圆
两点，线段
的中点为P，设直线m的斜率为
，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_______

16.下列命题

命题“
”的否定是“
”

不等式
恒成立的，则

已知
，则

若随机变量
服从正态分布
且
，则

其中，正确命题的序号为__________________

三、解答题：

本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（理科）（本小题满分12分）

已知函数
，其中
，
，其中
，若
相邻两对称轴间的距离大于等于

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）在△ABC中，
分别是角
的对边，
，当
最大时，
, 求△ABC的面积.

18. （本小题满分12分）

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．

（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；

（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

（Ⅲ）当
时，求二面角
的余弦值17.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．

19．（本题满分12分）

某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为
，求
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

（本小题满分12分）

已知数列
的首项为
，前n项和为
，且

（Ⅰ）证明数列
是等比数列

（Ⅱ）令
，

求函数
在点
处的导数
，并比较
与
的大小.

（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线
相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：
与椭圆C相交于A、B两点，且

(求证：
的面积为定值

(在椭圆上是否存在一点P，使
为平行四边形，若存在，求出
的取

值范围，若不存在说明理由.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

（本小题满分14分）

已知函数
图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若方程
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底，
）；

（Ⅲ）令
，如果
图象与
轴交于
，AB中点为
，求证：
．

23. 已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；

(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

24.已知函数
，（
为常数，
为自然对数的底）．

（Ⅰ）当
时，求
；

（Ⅱ）若
在
时取得极小值，试确定
的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由
的极大值构成的函数为
，将
换元为
，试判断曲线
是否能与直线
（
为确定的常数）相切，并说明理由．

KS5U2013新课标高考压轴卷（二）

数学(理科)试题答案

1—5 BDBAA 6—10 CCACB 11-12 AC

13. -2 14.36 15. -1/2 16. 234

17.（理科）解：（1）

函数
的周期
，由已知
，即
，

解得
，即
的取值范围是

（2）由（1）知
的最大值为
，

而
，所以
，即

由余弦定理得
，所以
，又

联立解得

所以

18.（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；

（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

（Ⅲ）当
时，求二面角
的余弦值．

证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，

所以 AC2+ BC2= AB2， 所以 AC⊥BC．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC．

因为 BC∩AC =C，

所以 AC⊥平面B B1C1C．

所以 AC⊥B1C．

（Ⅱ）证明：连结BC1，交B1C于E，DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以 DE// AC1．

因为 DE
平面B1CD， AC1
平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)．

设D (a, b, 0)（
，
），

因为 点D在线段AB上，且
， 即
．

所以
，
，
．

所以
，
，
．

平面BCD的法向量为
．

设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
，
．

设二面角
的大小为
，

所以
．

所以 二面角
的余弦值为
．

19.解：（1）
的所有可能取值为0，1，2．

设“第一次训练时取到
个新球（即
）”为事件
（
0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，
，
．

所以
的分布列为（注：不列表，不扣分）

0

1

2














的数学期望为
．

（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件
．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件
．

而事件
、
、
互斥，

所以，
．

由条件概率公式，得

，

，

．

所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

．

20. (1)解：
（1）

，
（2）

两列相减得

当
时,

,

故总有
，
，又
，

从而
，即数列
是等比数列

由（1）知