2013新课标高考压轴卷（二）

数学(文科)试题

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。

锥体的体积公式V=
，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).

事件A在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中事件A恰好发生
次的概率:
.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
.集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
（
是虚数单位），则

A．
B．
C．
D．

3. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为( )

A．24 B．80 C．64 D．240

4．已知向量
．若
为实数，
，

则

A．
B．
C．
D．

5.已知直线
，则“
”是“
的（ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

7.已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

（A）两个函数的图象均关于点
成中心对称

（B）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移
个单位即得②

（C）两个函数在区间
上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

8、已知等差数列
的前
项和为18，若
，则
的值为　（　　）

　　A.21　　　　B.9　　　　　C.27　　　　D.36

9．现有四个函数：①
②
③
④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①

10、已知x，y的取值如下表：

X

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7



从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为
，则
( )

A, 3.2， B. 2.6 C, 2.8 D. 2.0.

11．已知双曲线的方程为
，过左焦点
作斜率为
的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段
,则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知定义在
上的奇函数
满足
（其中
），且在

区间
上是减函数，令
，
，则（ ）

B、

C、
D、

第
卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、执行如图所示的程序框图,输出的
值为 .

14．已知
，
，则
.

15.过点M（—2，0）的直线m与椭圆
两点，线段
的中点为P，设直线m的斜率为
，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_______

16.下列命题

命题“
”的否定是“
”

不等式
恒成立的，则

已知
，则

（4）设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实：

①l⊥α;②l∥β;③α⊥β，若以两个作为条件，另一个作为结论，可构成命题，①②
③

其中，正确命题的序号为__________________

三、解答题：

本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（文科）（本小题满分12分）

设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角
的度数；（Ⅱ）求
面积的最大值.

18. 如图所示，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点。

（I）求证：A1B1//平面ABD；

（II）求证：AB⊥CE；

（III）求三棱锥C-ABE的体积。

19.（本小题满分12分）

为预防X病毒爆发，某生物技术公司研制出一种X病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：

分组

A组

B组

C组



疫苗有效

673







疫苗无效

77

90





已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取样本多少个？

（Ⅱ）已知
，
，求通过测试的概率．

（本小题满分12分）

设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn．

已知a7＝－2，S5＝30．

(Ⅰ) 求a1及d；

(Ⅱ) 若数列{bn}满足an＝
(n∈N*)，

求数列{bn}的通项公式．

（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线
相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：
与椭圆C相交于A、B两点，且

(求证：
的面积为定值

(在椭圆上是否存在一点P，使
为平行四边形，若存在，求出
的取

值范围，若不存在说明理由.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

（本小题满分14分）

已知函数
图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若方程
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底，
）；

（Ⅲ）令
，如果
图象与
轴交于
，AB中点为
，求证：
．

23. 已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；

(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

24. 已知函数
，
．

（Ⅰ）若函数
和函数
在区间
上均为增函数，求实数
的取值

范围；

（Ⅱ）若方程
有唯一解，求实数
的值．

KS5U2013新课标高考压轴卷（二）

数学(文科)试题参考答案

1—5 BDBAA 6—10 CCDCB 11-12 AC

13. -2 14.
15. -1/2 16. 234

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
.

因为
，
，由正弦定理
可得
.

因为
，所以
是锐角，

所以
.

（Ⅱ）因为
的面积
，

所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
.

因为
，所以
，

所以
，（当
时等号成立）

所以
面积的最大值为.

18. 解（Ⅰ）证明：由正三木棱住的性质知
∥AB，

因为
，

所以
∥平面ABD.

（Ⅱ）设AB中点为G，连结GE，GC。

又EG∥
，

又

而

(Ⅲ)由题意可知：

19. 解：（I）∵
，∴

∵
，

∴ 应在C组抽取样个数是
（个）；

（II）∵
，
，
，∴（
，
）的可能性是

（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），

若测试没有通过，则
，
，

（
，
）的可能性是（465，35），（466，34），

通过测试的概率是
．

20. 解：(Ⅰ) 解：由题意可知

　　　　
得

………………………………………6分

(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)得 an＝10＋(n－1)(－2)＝12－2n，

所以 b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝nan＝n(12－2n)，

当n＝1时，b1＝10，

当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝(n－1)[12－2(n－1)]，

所以nbn＝ n(12－2n)－(n－1)[12－2(n－1)]＝14－4n，

故bn＝
－4．

当n＝1时也成立．

所以bn＝
－4 (n∈N*)．

21. （Ⅰ）解：由题意得

椭圆的方程为
.

（Ⅱ）设
，
则A,B的坐标满足

消去y化简得

，
，
得

=
。

，即

即

=

。

O到直线
的距离

=
=

=
为定值..

（Ⅲ）若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则

设
，则

由于P在椭圆上，所以

从而化简得

化简得
（1）

由
知
（2）

解（1）（2）知无解

不存在P在椭圆上的平行四边形.

22.解（Ⅰ）
，
，
．

∴
，且
．

解得a＝2，b＝1．

（Ⅱ）
，令
，

则
，令
，得x＝1（x＝－1舍去）．

在
内，当x∈
时，
，∴h(x)是增函数；

当x∈
时，
，∴h(x)是减函数．

则方程
在
内有两个不等实根的充要条件是

即
．

（Ⅲ）
，
．

假设结论成立，则有

①－②，得
．

∴
．

由④得
，

∴
．即
．

即
．⑤

令
，
（0＜t＜1)，

则
＞0．∴
在0＜t＜1上增函数．

，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴
．

23. 解（1）当
时，
，当
，
，

故函数
在
上是增函数

（2）
，当
，
．

若
，
在
上非负（仅当
，x=1时，
），故函数
在
上是增函数，此时

．

若
，当
时，
；当
时，
，此时

是减函数； 当
时，
，此时
是增函数．故

．

若
，
在
上非正（仅当
，x=e时，
），故函数
在
上是减函数，此时

综上可知，当
时，
的最小值为1，相应的x值为1；当
时，

的最小值为
，相应的x值为
；当
时，
的最小值为
，

相应的x值为
．

（3）不等式
， 可化为
．

∵
, ∴
且等号不能同时取，所以
，即
，

因而
（

令
（
），又

当
时，
，
，

从而
（仅当x=1时取等号），所以
在
上为增函数，

故
的最小值为
，所以a的取值范围是
．

24.（Ⅰ）解：

当
时，
，当
时，
，

要使
在
上递增，必须

如使
在
上递增，必须
，即

由上得出，当
时
，
在
上均为增函数 ……………6分

（Ⅱ）方程
有唯一解
有唯一解

设

（
）

随
变化如下表























极小值





由于在
上，
只有一个极小值，

的最小值为
，

当
时，方程
有唯一解.