2013江西省高考压轴卷

数学（文）试题

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

棱台的体积公式

其中
分别表示棱台的上、下底面积，h表示梭台的高

球的表面积公式

球的体积公式
其中R表示球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有

一项是符合题目要求的．

(1)已知集合
若
,则
为

A．
B．
C．
D．
（ ）

(2) 已知
，其中
为虚数单位，则

(A)
(B)1 (C)2 (D)3

(3)在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行

（4）设
为定义在
上的奇函数，当
时，
(
为常数)，则

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)

(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若
，则c的最值为 ( )

A．最小值-1 B．最小值-2 C．最大值-2 D．最大值-1

（6）样本中共有5个个体，其值分别为
.若该样本的平均值为1，则样本方差为

（A）
(B)
(C)
(D)

(7)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆
+ y2=1和双曲线
- y2=1，P是它们的一个交点，则ΔF1PF2的面积是（ ）

A．2 B．3 C．1 D．4

(8)设数列
是等比数列，则“
”是数列
是递增数列的

(A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(9)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值和最小值分别为

(A)
(B)
(C)
(D)

(10)定义平面向量之间的一种运算“
”如下，对任意的
，
，令
，下面说法错误的是（ ）

A.若
与
共线，则

B.

C.对任意的
，有

D.
第II卷

二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分．

(11) 函数
的最小正周期为 ．

(12) 右程序框图中，当
N
（n>1）时，函数
表示函

数
的导函数.若输入函数
，则输出的

函数
可化为___ __。

(13) 如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．

(14) 已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
.令

，记数列
的前

项和为
，对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的最小值是 .

(15)(根据浙江高考题改编)若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分11分）

如图，在
中，
，垂足为
，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）设
为
的中点，已知
的面积为15，求
的长．

17．（本题满分11分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.

（I）求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；

（II）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；

（III）用
分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
.

18．（本题满分11分）如图，在三棱锥
中，

，
，

设顶点
在底面
上的射影为
．

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）设点
在棱
上，且
，

试求二面角
的余弦值．

19．（本题满分14分）如图，在矩形
中，
分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设
,
．

（Ⅰ）求直线
与
的交点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过圆

上一点

作圆的切线与轨迹
交于
两点，

若
，试求出
的值．

20．（本题满分14分）已知函数

（Ⅰ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅱ）设函数
，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量
使得
的值相等，若存在，请求出
的范围，若不存在，请说明理由？

21、（本题满分14分）

对于给定数列
，如果存在实常数
使得
对于任意
都成立，我们称数列
是“
数列”．

（Ⅰ）若
，
，
，数列
、
是否为“
数列”？若是，指出它对应的实常数
，若不是，请说明理由；

（Ⅱ）证明：若数列
是“
数列”，则数列
也是“
数列”；

（Ⅲ）若数列
满足
，
，
为常数．求数列
前
项的和．

江西省高考压轴卷 数学（文）试题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题
，每小题5分，共50分

（1）1．已知集合
若
,则
为

A．
B．
C．
D．
（ ）

（选题意图：主要考查集合的表示、集合的运算。）选D

(2) 已知
，其中
为虚数单位，则

(A)
(B)1 (C)2 (D)3

【答案】B

【解析】由
得
,所以由复数相等的意义知
,所以
1.

另解：由
得

，则
.

故选B.

【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。

(3)在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。

【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。

（4）设
为定义在
上的奇函数，当
时，
(
为常数)，则

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)

【答案】D

【解析】由
为定义在
上的奇函数可知
，

于是
，故选D.

(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若
，则c的最值为 ( )

A．最小值-1 B．最小值-2 C．最大值-2 D．最大值-1

（编题意图：本题考查基本不等式的应用及函数最值问题。）选C

（6）样本中共有5个个体，其值分别为
.若该样本的平均值为1，则样本方差为

（A）
(B)
(C)
(D)

【答案】D

【解析】由题意知
，解得
，故样本方差为

,故选D.

【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算，属于基础题.

(7)【原创】已知有相同两焦点F1、F2的椭圆
+ y2=1和双曲线
- y2=1，P是它们的一个交点，则ΔF1PF2的面积是（ ）

A．2 B．3 C．1 D．4

(8)设数列
是等比数列，则“
”是数列
是递增数列的

(A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由
，设数列
的公比为
, 得
，则
，数列
为递增数列；反之，若数列
是递增数列，则公比
所以
，即
，故“
”是数列
是递增数列的充分必要条件.

【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识，属于基础题.

(9)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值和最小值分别为

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】A

【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，

可知当直线
平移到点（5，3）时，

目标函数
取得最大值3；

当直线
平移到点（3，5）时，

目标函数
取得最小值-11，故选A。

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数
的几何意义是解答好本题的关键。

(10)定义平面向量之间的一种运算“
”如下，对任意的
，
，令

，下面说法错误的是（ ）

A.若
与
共线，则
B.

C.对任意的
，有

D.

【答案】B

【解析】若
与
共线，则有
，故A正确；因为
，而

，所以有
，故选项B错误，故选B。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．

12．（编题意图：本题主要考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用、同时考查周期性及三角变换。）

13．
14． 100 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。

16．（本小题满分１1分）

解：（I）由已知得
, ……………………………………2分

则
, …………………4分

又
,故
．．…………………5分

（II）设
,则
,

由已知得
,则
,

故
,
, …………………………………7分

则
， …………………9分

由余弦定理得
． ……………………………………11分

17．（本小题满分11分）

解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为
，去参加乙项目联欢的概率为
.设“这4个人中恰有
人去参加甲项目联欢”为事件
，
，则
.

（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率
---4分

（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件
，
，

故
.

∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为
.----7分

(III)
的所有可能取值为0,2,4.

，

所以
的分布列是

0

2

4














.-----------------------------------------------------------------------------------------------11分

18．（本小题满分１1分）

证明：（I）方法一：由
平面
得

，

又

，则
平面
，

故
，…………………………………………2分

同理可得
，则
为矩形，又
，

则
为正方形，故
．…………………4分

方法二：由已知可得
，设
为
的中点，则
，则
平面
，故平面
平面
，则顶点
在底面
上的射影
必在
，故
．

（II）方法一:由（I）的证明过程知
平面
，过
作
，垂足为
，则易证得
，故
即为二面角
的平面角，……………………………7分

由已知可得
，则
，故
，则
，

又
，则
，……………………………………………………………… 9分

故
，即二面角
的余弦值为
．………………………11分

方法二: 由（I）的证明过程知
为正方形，如图建立坐

标系，则
，

可得
，…………………………………………7分

则
，易知平面

的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为

，则由
得
，…………9分