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2013新课标高考压轴卷（一）

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
是虚数单位，复数
是纯虚数，则实数x的值为

A．
B．1 C．
D．2

（2）设集合
则

A.｛0,1,2,3,｝ B.｛5｝ C.｛1,2,4｝ D.{0,4,5}

（3）已知
，则

A．
B．
C．
D．

（4）抛物线
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

A.
B.
C.
D.0

（5）已知
为第二象限角，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

（6）设
，则二项式
展开式中的
项的系数为

A．-20 B．20 C．-160 D．160

（7）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是

A.4 B.5 C.6 D.7

（8）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是
的圆，则这个几何体的表面积是



A．
B．
C．
D．

（9）已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，且右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率等于

A．
B．
C．2 D．2

（10）某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为

A．360 B．520 C．600 D．720

（11）若函数
（
0且
）在（
）上既是奇函数又是增函数，则
的图象是

（12）对于函数
，下列说法正确的是

A．该函数的值域是

B．当且仅当
时，

C．当且仅当
时，该函数取最大值1

D．该函数是以
为最小正周期的周期函数

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为

（14）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则角B为

（15）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
在点
处的切线方程为

（16）已知
为
上的偶函数，对任意
都有
且当
，
时，有
成立，给出四个命题：

①
② 直线
是函数
的图像的一条对称轴

③ 函数
在
上为增函数 ④ 函数
在
上有四个零点

其中所有正确命题的序号为______________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
.

（1）求
与
；（2）设数列
满足
，求
的前
项和
.

（18）（本小题满分12分）

某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者.

（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.

Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD；

Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=
，∠CDA=45°，

求四棱锥P-ABCD的体积.

Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的

余弦值的绝对值.

（20）（本小题满分12分）

给定抛物线
，
是抛物线
的焦点，过点
的直线
与
相交于
、
两点，
为坐标原点.

（Ⅰ）设
的斜率为1，求以
为直径的圆的方程；

（Ⅱ）设
，求直线
的方程.

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）已知
对定义域内的任意
恒成立，求实数
的范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点
，割线
交⊙
于
两点，∠
的平分线和
分别交于点
.

求证：（1）
；

（2）

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数），求直线
与曲线
的交点
的直角坐标．

（24）（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
．

（I）证明：
≤
≤3；

（II）求不等式
≥
的解集．

参考答案

1.【答案】B

【解析】由题意知
，解得
,选B.

2.【答案】D

【解析】
,所以
，所以
，选D.

3.【答案】D

【解析】因为
，所以
，所以
，选D.

4.【答案】B

【解析】抛物线的标准方程为
，抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
，因为M到焦点的距离为1，则M到准线的距离为1，即
,所以
，选 B.

5.【答案】A

【解析】因为
为第二象限角，所以
，所以
，选A.

6.【答案】C

【解析】因为
，所以二项式为
，所以展开式的通项公式为
，由
得
，所以
，所以
项的系数为
.选C.

7.【答案】B

【解析】第一次
；第二次
；第三次
；第四次
；第五次
此时满足条件输出
，选B.

8.【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一挖去
半球的球.其中两个半圆的面积为
.
个球的表面积为
，所以这个几何体的表面积是
，选A.

9.【答案】B

【解析】抛物线的焦点为
，即
.双曲线的渐近线方程为
，由
，即
，所以
，所以
，即
，即离心率为
，选B.

10.【答案】C

【解析】若甲乙只有一个参加，则有
.若甲、乙同时参加,则有
，所以共有600种排法，选C.

11.【答案】C

【解析】
是奇函数，所以
，即
，所以
，即
，又函数
在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知
，所以函数
，选C.

12.【答案】B

【解析】
由图象知，函数值域为
，A错；当且仅当

时，该函数取得最大值
， C错；最小正周期为
，D错.

13.【答案】

【解析】由
得
.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线
，由平移可知，当直线
经过点C时，直线的截距最大，此时
最小.由
，解得
，即
,代入
得最小值为
.

14.【答案】

【解析】由正弦定理可得
，所以
，所以
.

15.【答案】

【KU5U解析】函数的导数为
，令
，所以
，解得
，即
，所以
，所以在点
处的切线方程为
，即
.

16.【答案】①②④

【解析】令
，得
，即
，所以①正确.因为
，所以
，即
，所以直线
是函数
的图像的一条对称轴，因为函数为偶函数，所以
也是函数
的图像的一条对称轴所以②正确.由
可知函数
在区间
上递增，又
，所以函数的周期为6，所以函数在
上递增，所以在
上为减函数，所以③错误.因为函数的周期为6，所以
，故函数
在
上有四个零点，所以④正确，所以正确的命题为①②④

17.【答案】解:（1）设
的公差为
.

因为
所以

解得
或
（舍），
.

故
，
.

（2）由（1）可知，
，

所以
.

故
.

18.【答案】解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=
, P(ξ=1)=
, P(ξ=2)=
…………3分

∴ξ的分布列、期望分别为：

ξ

0

1

2



p











Eξ=0×
+1×
+2 ×
=1 …………6分

（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C

男生甲被选中的种数为
,男生甲被选中，女生乙也被选中的

种数为

∴P(C)=
…………11分

在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
……12分

19.【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE
平面ABCD,所以PA⊥CE,

因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA
AD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分

(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角