绝密★启用前 试卷类型：B

2013广东省高考压轴卷?数学文试题

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
为锥体的高．

样本数据
的方差
, 其中
表示样本均值．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知集合
和
的关系的韦恩（
）图如图1所示，则阴影部分所示的集合是

A．
B．

C．
D．

命题“存在实数
，使
”的否定是

A．对任意实数
, 都有
B．不存在实数
，使

C．对任意实数
, 都有
D．存在实数
，使

若复数
（
是虚数单位，
是实数），则

A．
B．
C．
D．2

已知平面向量
，
，且
，则

A．
B．
C．
D．

已知
是定义在
上的奇函数，且
时
的图像如图2所示，则

A．
B．

C．
D．

已知变量
，
满足约束条件
则
的最大值为

A．2 B．3 C．4 D．6

设函数
，则

A．
为
的极大值点 B．
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D．
为
的极小值点

已知直线
，其中
成等比数列，且直线经过抛物线
的焦点，则

A．
B．0 C．1 D．4

如图3所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为

A．

B．

C．

D．

对于任意两个复数
，
（
），定义运算“
”为：
．则下列结论错误的是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

函数
的定义域是________．

某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为[50,55），[55,60），[60,65），[65,70），[70,75]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是_________；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在[65,75]的概率是_________．

已知
中，
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
_________．

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为________．

（几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆
外一点
分别作圆的切线和割线交圆于
，
，
，且
，过点
作
的垂线，垂足为
，则
_______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

（本小题满分12分）

设等差数列
的前
项和为
，且
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求
的值；

（3）设数列
的前
项和为
，求
的值．

（本小题满分13分）

已知函数

的最大值是1，且
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求
的解析式；

（3）已知锐角
的三个内角分别为
，
，
，若
，求
的值．

（本小题满分13分）

某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：











文科考生

67

35

19

6



理科考生

53









已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名．

（1）求
的值；

（2）图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差；

（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为
，不低于400分的文科理科考生人数之比为
，求
、
的值．

（本小题满分14分）

将棱长为
正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点
，
分别是
，
的中点．

（1）证明：
；

（2）求三棱锥
的体积．

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知圆心在
轴上，半径为4的圆
位于
轴右侧，且与
轴相切．

（1）求圆
的方程；

（2）若椭圆
的离心率为
，且左右焦点为
．试探究在圆
上是否存在点
，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

（本小题满分14分）

已知函数

（1）讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，若函数
在区间
上的最大值为28，求
的取值范围．

KS5U2013广东省高考压轴卷?数学文试题答案

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

C

A

B

D

D

A

A

B





答案详细解析：

1．阴影部分所示的集合是
．

2．存在量词变成任意量词，结论变．

3．∵
，∴
，解得
．

4．∵
，∴
，解得
，∴
．

5．
．

6．如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A时取得最大值．由
解得
，∴
．

7．由
，得
，又
时，
，
时，
，∴
在
时取得极小值．

8．∵
成等比数列，∴
①，∵直线经过抛物线
的焦点
，∴
②，由①②联立解得
或
（舍去），∴
．

9．该几何体的直观图如图所示，由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱．四棱锥的体积为
，直三棱柱的体积为
，∴该几何体的体积为
．



10．
．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

11．
12．62.5，
13．
14．
15．

说明：第12题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．

答案详细解析：

11．∵
，∴
．∴函数的定义域是
．

12．众数是
，∵各分组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，∴该员工的体重在[65,75]的概率是
．

13．由正弦定理
，又∵
，∴
，∴
，∴
．

14．曲线
与
分别转化为直角方程得
，
。联立
，解得
或
（舍去）。∴
，
，又
，∴
．∴交点的极坐标为
．

另解：联立
，解得
或
（舍去），∴曲线
与
的交点的极坐标为
．

15．连接
．根据切割线定理
，∴
．∵
（等面积），∴
，∴
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：(1)设等差数列
的公差为
，

∵
,

∴
……………………………………………………………………………2分

数列
的通项公式
……