2013山东省高考压轴卷

理科数学

考试时间：120分钟 满分：150分

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．复数
（其中
为虚数单位）的虚部等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
或

3．设p：log2x<0，q：x－1>1，则p是q的 (　　)．

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
，则其图象的下列结论中，正确的是（ ）

A．关于点
中心对称 B．关于直线
轴对称

C．向左平移
后得到奇函数 D．向左平移
后得到偶函数

5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有
架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 若直线
与圆
有公共点，则实数a取值范围是（ ）

A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3,l ] D．（－∞，－3]
[1．+∞）

7.（2013青岛市一模）已知
、
、
是三条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，给出以下命题：

①若
，则
； ②若
，则
；③若
，
，则
；④若
，
，则
．

其中正确命题的序号是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③

8．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐

近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于 (　　)．

A. B．2 C. D．2

9．（2013日照市一模）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为
的矩形.则该几何体的表面积是（ ）

A.
B.

C.8 D.16

10. 已知函数
是R上的奇函数，若对于
，都有
，

时，
的值为（ ）

A.
　　　B.
　　C.1 　　D.2

11．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 (　　)．

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq

－np，下面说法错误的是（ ）

A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a

C．对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．

13．执行如右图的程序框图，那么输出
的值是 ．

14．（2013滨州市一模）设

的展开式中的常数项等于 .

15．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为

16.给定方程：
，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；④若
是该方程的实数解，则

–1．则正确命题是 ．

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

17．（2013济南市一模）(本题满分12分)

已知
，
，且
．

（1）将
表示为
的函数
，并求
的单调增区间；

（2）已知
分别为
的三个内角
对应的边长，若
，且
，
，求
的面积．

18.（本小题满分12分）（2013日照二模）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调

查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路

人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）设数列
的前
项积为
，且

.

（Ⅰ）求证数列
是等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

21．（本小题满分13分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2 是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．

22．（本小题满分13分）已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，求实数a的取值范围；

(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

参考答案

1．B

【解析】
,所以虚部为
，故应选B.

2．A

【解析】

3．B　

【解析】依题意得，p：log2x<0?01?x<1，所以p?q，但q
p，所以p是q的充分不必要条件，故选B.

4. C

【解析】对于A：
，其对称中心的纵坐标应为0，故排除A；对于B：当
时，y=0，既不是最大值1，也不是最小值-1，故可排除B；对于C：
，向左平移
后得到：

为奇函数，正确；可排除D．故选C．

5. C

【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素
，有
种方法；
与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有
种方法；考虑
与戊机的排法有
种方法．由乘法原理可知共有



种不同的着舰方法．故应选C.

6. C

【解析】因为直线
与圆
有公共点，所以圆心
到直线
的距离
。

7．A.

【解析】①中直线还可能异面；③中需指明直线n不在平面内。

8．B　

【解析】∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝＝，∴双曲线的焦距为2.

9．A.

【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为
,由面积
得长为4，则
=
.

10.B

【解析】由
知，函数
的周期为2，所以

11．D

【解析】取x＝－π，0，π这三个值，可得y总是1，故排除A、C；当0

12．B

【解析】由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，

所以选项B错误；（
a）⊙b=
，
(a⊙b)=
( mq－np)=
，所以

对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b），选项C正确；（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2=

，|a|2|b|2=
，

所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。

13．

【解析】由框图知：

不满足条件，输出
的值是
.

14. -160

【解析】

所以常数项为-160.

15. 400

【解析】设第一、第二、第三小组的频率依次是0.16，0.16t,0.16t2(t>0)，则由后四小组的频率成等差数列可知，0.16t2＋0.07为第四、第五小组的频率之和．由0.16＋0.16t＋2(0.16t2＋0.07)＝1，可得t＝，t＝－(不合题意，舍去)．∴第三小组的频率为0.25，故总人数为400人．

16.②③④

【解析】由
得
，令
=
，
=
，在同一坐标系中画出两函数的图像如右，由图像知：①错，③、④对，而由于
=
递增，小于1，且以直线
为渐近线，
=
在－1到1之间振荡，故在区间(0,+()上，两者图像有无穷多个交点，所以②对，故选填②③④.

17.【解析】（1）由
得
,
………2分

即

………4分

∴
， ……………………………………5分

∴
，即增区间为
…………6分

（2）因为
，所以
，
， ………………7分

∴
…………………………………………………………8分

因为
，所以
．………………………………………9分

由余弦定理得：
，即
………………10分

∴
，因为
，所以
…………………11分

∴
. …………………………………………………12分

18.【解析】（Ⅰ）

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



……………3分

由已知数据得：
，

所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分

（Ⅱ）
的可能取值为

……………9分

所以
的分布列为：

0

1

2














的数学期望为：
……………12分

19．【解析】(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.

又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.

(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M，N(，0，)，C(，3,0)．

设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，C＝(－，－3，2 )．

∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2 λ)，∴Q(－λ，3－3λ，2 λ)．

由A⊥C?A·C＝0，得λ＝.即：Q.

对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．

∵A＝，A＝(，0，)．

则??

∴n＝.

同理对于平面QMN，得其法向量为v＝.

记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝＝.

∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.

20．【解析】（Ⅰ）
…………………………………1分

由题意可得：