2013山东省高考压轴卷

文科数学

考试时间：120分钟 满分：150分

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．复数
（其中
为虚数单位）的虚部等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
或

3．如果等差数列
中，
，那么
( )

A．14 B．21 C．28 D．35

4．函数
的定义域为( )

A. (0，+∞) B. (1，+∞) C. (0，1) D. (0，1)
(1，+
)

5．若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是

(　　) A．3 B. C．2 D．2

6．设sin（
）=
，sin2
=（ ）

A．
B．
D．
D．

7. 若直线
与圆
有公共点，则实数a取值范围是（ ）

A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3,l ] D．（－∞，－3]
[1．+∞）

8.（2013青岛市一模）已知
、
、
是三条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，给出以下命题：

①若
，则
； ②若
，则
；③若
，
，则
；④若
，
，则
．

其中正确命题的序号是（ ） A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③

9．（2013日照市一模）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为
的矩形.则该几何体的表面积是（ ）

A.
B.

C.8 D.16

10. 已知函数
是R上的奇函数，若对于
，都有
，

时，
的值为（ ）

A.
　　　B.
　　C.1 　　D.2

11．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 (　　)．

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq

－np，下面说法错误的是（ ）

A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a

C．对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b）

D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．

13．执行如右图的程序框图，那么输出
的值是 ．

14.（2013滨州一模）已知抛物线
的准线过双曲线
的右焦点，则双曲线的离心率为 .

15．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为

16．观察下列等式：
，
，
，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈
，
；

三、解答题:本大题共6小题，共74分.

17. (本小题满分12分)（2013济南市一模）

在
中，边
、
、
分别是角
、
、
的对边，且满足
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，
，求边
，
的值.

18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE.

19.（本小题满分12分）某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.

(Ⅰ)分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；

(Ⅱ）设
是月用水量为[0，2)的家庭代表.
是月用水量为[2，4]的家庭代表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表
至少有一人被选中的概率.

20. (本小题满分12分）已知等比数列
的所有项均为正数，首项
＝1，且
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列{
}的前
项和为
，若
＝
，求实数
的值.

21．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，一个顶点为
，且其右焦点到直线
的距离为3.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设直线过定点
，与椭圆交于两个不同的点
，且满足
．

求直线的方程.

22．（本小题满分13分）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

1．B

【解析】
,所以虚部为
，故应选B.

2．A

【解析】

3．C

【解析】因为
，所以
，所以
.

4.B

【解析】要使函数有意义，则有
，即
，所以解得
，即定义域为(1，+∞)，故应选B.

5．C

【解析】可行域为直角三角形，其面积为S＝×2×＝2.

6．A

【解析】因为sin（
）=
，即
，两边平方，得：
，所以
。

7. C

【解析】因为直线
与圆
有公共点，所以圆心
到直线
的距离
。

8．A.

【解析】①中直线还可能异面；③中需指明直线n不在平面内。

9．A.

【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为
,由面积
得长为4，则
=
.

10.B

【解析】由
知，函数
的周期为2，所以

11．D

【解析】取x＝－π，0，π这三个值，可得y总是1，故排除A、C；当0

12．B

【解析】由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，

所以选项B错误；（
a）⊙b=
，
(a⊙b)=
( mq－np)=
，所以

对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b），选项C正确；（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2=

，|a|2|b|2=
，

所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。

13．-1

【解析】由框图知：

不满足条件，输出
的值是
.

14.2

【解析】抛物线的准线为x=2，所以双曲线的焦点为（2，0），即c=2，∴m+3=4,m=1,∴e=2.

15. 400

【解析】设第一、第二、第三小组的频率依次是0.16，0.16t,0.16t2(t>0)，则由后四小组的频率成等差数列可知，0.16t2＋0.07为第四、第五小组的频率之和．由0.16＋0.16t＋2(0.16t2＋0.07)＝1，可得t＝，t＝－(不合题意，舍去)．∴第三小组的频率为0.25，故总人数为400人．

16．

【解析】由已知中的等式：
，
，

，……，

所以对于n∈
，

。

17.【解析】（1）由正弦定理和
，

得
， …………………2分

化简，得

即
， …………………4分

故
.所以
. …………………6分

（2）因为
， 所以

所以
，即
. （1） …………………8分

又因为
,

整理得，
. （2） …………………10分

联立（1）（2）
，解得
或
. …………………12分

18.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝DE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.∴GF∥AB.

又AB＝DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.

∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.

(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

19. 【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可得
， …………… 2分

∴月用水量为
的频数为25.

故
，得
. ………………………… 4分

由频率分布表可知，月用水量不超过
吨的频率为
，

所以，家庭月用水量不超过
吨的频率约为
． ……………………… 6分

(Ⅱ)由
、
、
、
、
五代表中任选
人共有如下
种不同选法，分别为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
. ………………………… 8分

记“
、
至少有一人被选中”的事件为
，事件
包含的基本事件为：

，
，
，
，
，
，
，共包含7个基本事件数. ……………… 10分

又基本事件的总数为
，所以
.

即家庭代表
、
至少有一人被选中的概率为
. …………………… 12分

20. 【解析】（Ⅰ）设数列
的公比为
，由条件得
成等差数列，

所以
…………………………………………2分

解得

由数列
的所有项均为正数,则
=2 …………………………………………4分

数列
的通项公式为
=

………………………………………6分

（Ⅱ）记
,则
………………7分

若
不符合条件； ……………………………………8分

若
， 则
，数列
为等比数列，首项为
，公比为2,

此时
…………………………10分

又
＝
,所以
　……………………………………12分

21. 【解析】(1)设椭圆方程为
， 则
. ………………1分

令右焦点
， 则由条件