2013年安徽省高考压轴卷

数学（理）试题

（满分：150分，时间：120分钟）

第I卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知复数
的实部是，虚部是，则
的值是（ ）

A．
B.
C.
D.

2.已知集合
，则
为（ ）

A．
B.
C.
D.

3.已知一组观测值具有线性相关关系，若对于
，求得
，则线性回归方程是（ ）

A．
B.
C.
D.

4. 下列命题是假命题的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”；

B．若
且
，则
；

C．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线；

D．“
”是“
”的充分不必要条件；

5.实数满足不等式组
，则
的最小值是（ ）

A．-1 B. -2 C. 1 D. 2

6.已知函数
（其中
），其部分图像如图所示，将
的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向左平移1个单位得到
的图像，则函数
的解析式为（ ）

A.
B.

C.
D.

7．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为，又
表示集合的元素个数，
，则
的概率为

A．
B．
c．
D．

8..双曲线
的左右焦点分别是
，点

在其右支上，且满足
，
，则
的值是（ ）

A．
B.
C.
D.

9.已知函数
满足
，则函数
在
处的切线是（ ）

A．
B.
C.
D.

10.在
中，已知
D是边
上的一点，将
沿
折叠，得到三棱锥
，若该三棱锥的顶点在底面
的射影
在线段
上，设
，则的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）

11.某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据，可得该几何体的体积是______.

12.如图在下面的框图输出的
是363，则条件①可以填______.（答案不唯一）



13．已知二项式
的展开式中
项的系数与
的展开式中
项的系数相等，则
= ．

14.设等差数列
的公差
，且
，当
时，
的前项和
取得最小值，则
的取值范围是__________.

15.给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______.

①函数
的最小值是3

②函数
若
且
，则动点
到直线

的最小距离是
.

③命题“函数
当

”是真命题.

④函数
的最小正周期是1的充要条件是
.

⑤已知等差数列
的前项和为
，
为不共线的向量，又

若
，则
.

三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(12分)在
中，
所对的边分别是
，设平面向量

，且
.

求
的值；

若
，则
的周长的取值范围.

17. (12分)某种产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据：

日销销量（件）

0

1

2

3

4

5



频 数

1

3

6

10

6

4



试销结束后（假设商品的日销售量的分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有
件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于
件，则当天进货补充到
件，否则不进货.

（1）求超市进货的概率

（2）记
为第二天开始营业时该商品的件数，求
的分布列和数学期望.

18. (12分)如图，已知四棱锥
中，
是边长为的正三角形，平面
平面
，四边形
是菱形，
，是
的中点，
是
的中点.

（1）求证：
平面
.

（2）求二面角
的余弦值.

19. (12分)已知椭圆的焦点坐标是
，过点
垂直与长轴的直线交椭圆与
两点，且
.

（1）求椭圆的方程

（2）过
的直线与椭圆交与不同的两点
，则
的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

20. （13分）已知函数
．

(1)讨论函数
的单调性；

(2)若函数
的最小值为
，求
的最大值；

(3)若函数
的最小值为妒
，
为
定义域内的任意两个值，试比较
与
的大小．

21. （14分）已知数列
满足
且

（1）求
；

（2）数列
，
满足
，且当
时，

证明当
时，
；

（3）在（2）的条件下，试比较
与4的大小关系.

数学（理）试题 参考答案

1.A【解析】 本题考查复数的乘法运算，

2.B【解析】考查集合的概念和交集运算，由
，即
，所以
.

3.C【解析】考查线性回归方程过样本中心点
，带入数据得
，解得

，所以线性回归方程是
.

4.C【解析】本题考查命题的四种形式和关系及和充分必要条件的判定,选项A，根据命题的四种形式，可知命题：“
”的逆否命题是
，故选项A说法正确；选项B，因为
所以
，则
，所以有
，故该命题正确；选项C，当两条平行线和投影面垂直时，两条平行线在这个平面内的射影是两个点，显然该命题不正确；选项D，解不等式
，得
，因为
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，D正确.

5．B【解析】本题考查简单的线性规划问题中的求最值问题.根据题目可得如下的可行域，其中 ，令
，将这条直线平移可以得到在A点使得
取得最小值，所以
，故选B

6.B【解析】由图像得，
因为
由图像可以看出，
所以
即
，将
的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍得到
，再向右平移1个单位得到

，选B.

7.A【解析】由
知，函数
和
的图像有四个交点，所以
的最小值
，解得
，所以的取值是
.又因为的取值可能是
种，故概率是
，故选A.

8.C【解析】（方法一）
即
，又

即
由题意知，
，

故
.

（方法二）焦半径公式法：

，故
.选C.

点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前项和的求法. 通过
得出
的关系式解题的关键.

9．B【解析】本题考查复合函数导数的求法和利用导数求曲线的切线方程问题，难度中等.令
得，
，
，两边取导数得，

，令
得，
，
，所以

函数
在
的切线方程是
即
，选B.

10. C 【解析】本题考查立体几何中的折叠问题和解三角形问题，直接计算比较复杂，可以采用极限思想特殊化法，在
中
，由余弦定理得

所以
，当D点和C点重合时，

，BD是角平分线时，A点的射影才能出现在BC上，此时
，两种情况是临界值，故选C

第Ⅱ卷

11．
【解析】本题考查三视图还原成立体图和棱锥的体积公式.由题知立体图如图所示

，

所以
，

.

12.
（或
）【解析】由
知，程序的作用是求和，

，循环5次，所以条件可以填
（或
）.

13．
【解析】
中
的系数是
，
中
的系数是
，所以令