2013年安徽省高考压轴卷

数学（文）试题

（满分：150分，时间
：120分钟）

第I卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知复数
的实部是
，虚部是
，则
的值是（ ）

A．
B.
C.
D.

2.已知集合
，则
为（ ）

A．
B.
C.
D.

3.已知一组观测值具有线性相关关系，若对于
，求得
，则线性回归方程是（ ）

A．
B.
C.
D.

4.已知平面
，直线
平面
，则“平面
平面
”是“直线
平面
”的（ ）

A．充分不必要条件 B.充要条件 Ｃ.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.实数满足不等式组
，则
的最小值是（ ）

A．-1 B. -2 C. 1 D. 2

6.若
，则
的值（ ）

A．
B．
C.
D.

7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）

A．
B.
C.
D.

8.设
是双曲线
是上下焦点，若在双曲线的上支上，存在点
满足
，且
到直线
的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
是
上的奇函数，对于
都有
且
时，
则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
，又三个互不相等的
满足
，则
的范围是（）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）

11.某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据，可得该几何体的体积是______.

12.如图在下面的框图输出的
是363，则条件①可以填______.（答案不唯一）



13.如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，则在第20给个拐弯处的正整数是_______.

14.已知数列
中满足
，则数列
的通项公式是________.

15.给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______.

①函数
的最小值是3

②函数
若
且
，则动点
到直线

的最小距离是
.

③命题“函数
当

”是真命题.

④函数
的最小正周期是1的充要条件是
.

⑤已知等差数列
的前
项和为
，
为不共线的向量，又

若
，则
.

三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.( 12分)在
中，
所对的边分别是
，
表示三角形的面积，且

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的值.

17.( 12分)为了了解调研初一年级新学生的智力水平，某校按10%的比例对700名初一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如下表1、表2.

表1：男生“智力评分”频数分布表

智力评分















频数

2

 5

14

13

4

2



表2：女生“智力评分”频数分布表

智力

评分















频数

1

7

 12

6

3

1



（1）求初一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；

（2）估计该校学生“智力评分”在
之间的概率；

（3）从样本中“智力评分”在
的男生中任选2人，求至少有1人“智力评分”在
之间的概率.

18．( 12分)如图所示，在
棱长为
的正方体
中，
分
别为
、
的中点．(1)求证：
；(2)求三棱锥
的体积．

19. ( 12分)已知椭圆的焦点坐标是
，过点
垂直与长轴的直线交椭圆与
两点，且
.

（1）求椭圆的方程

（2）过
的直线与椭圆交与不同的两点
，则
的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

20.( 13分)已知函数
.

当
时，求函数
在
处的切线方程；

求函数
的单调区间；

21. ( 14分)若数列
的前
和为
，首项是
，满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在
，使
（其中
是与正整数
无关的常数）？若存在，求出
和
的值，若不存在，请说明理由；

（3）求证：
为有理数的充要条件是数列
存在三项构成等比数列.

数学（文）试题参考答案

1.A【解析】 本题考查复数的乘法运算，

2.B【解析】考查集合的概念和交集运算，由
，即
，所以
.

3.C【解析】考查线性回归方程过样本中心点
，带入数据得
，解得

，所以线性回归方程是
.

4.A【解析】因为平面
平面
且直线
平面
，所以直线
平面
，充分性成立，反之，当直线
平面
时，直线
平面
，也可能平面
和平面
相交.

5．B【解析】本题考查简单的线性规划问题中的求最值问题.根据题目可得如下的可行域，其中 ，令
，将这条直线平移可以得到在A点使得
取得最小值，所以
，故选B

6.B【解析】本题考查诱导公式和二倍角公式，

7.C【解析】本题考查茎叶图和古典概型的求法，记其中被污损的数字为
，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是
，乙的5次综合测评的平均成绩是
，令
，解得
，即
的取值可以是
，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是
，选C.

8.B【解析】 过
作
与
点，
因为

所以
即
解得
即
，选B.

9.C【解析】由
得，
即函数
的周期是4，因为函数
是
上的奇函数，所以

，选C.

10.B【解析】数形结合，作出
的图像，

如图所示，若有
，

不妨设
，则有
，

，所以
.

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）

11．
【解析】本题考查三视图还原成立体图和棱锥的体积公式.由题知立体图如图所示

，

所以
，

.

12.
（或
）【解析】由
知，程序的作用是求和，

，循环5次，所以条件可以填
（或
）.

13.
【解析】观察图，仔细分析规律.

第一个拐弯处
；

第二个拐弯处
；

第三个拐弯处
；

第四个拐弯处
；

第五个拐弯处
；

发现规律：拐弯处的数是从1开始的一

串正整数相加之和再加1，

在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第20个拐弯处的数就是：
.

14.
【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为
两边同除
得
，所以

，相加得
，因为
，带入得
。

15. ①③⑤【解析】在①中，函数的定义域是
解得：
，当
时，
是减函数，
当
时

是增函数，
所以
，
.①正确.

在②中，由图像知，
，

，即
，则动点
的轨迹是以

为圆心，半径
的圆（虚线），所以点
到直线
的最小距离是
（
是点
到直线的距离），
，
，因为是点
的值取不到，所以
也不能取到最小值.故②错.

在③中，函数
是偶函数，且