2013天津市高考压轴

数 学 （理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
为虚数单位，则复数
的虚部是

A．
B．1 C．
D．

（2）“
”是“直线
和直线
互相垂直”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

（3）执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数
值的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

（4）设
是公差不为0的等差数列
的前
项和，且
成等比数列，则
等于

A.1 B. 2 C. 3
D. 4

（5）二项式
的展开式中常数项是

A．28 B．-7 C．7 D．-28

（6）定义行列式运算
=
．将函数
的图象向左平移
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是

A．
　B．
C．
D．

（7）已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
的值为

A．
　　　 B．
　　　 C．1　　　　 D．2

（8）已知P（x,y)是直线
上一动点，PA，PB是圆C：
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则
的值为

A.3 B.
C.
D.2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．

（10）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为
，等腰三角形的腰长为
，则该几何体的体积是

（11）已知集合
，若
，则
的取值范围是

（12）已知直线
（
为参数）与圆
（
为参数），则直线
的倾斜角及圆心
的直角坐标分别是

（13）如图，
，
是半径为
的圆
的两条弦，它们相交于
的中点
.若
，
，则
= ，
（用
表示）.

（14）以下命题：①若
，则
∥
；②
=（－1，1）在
=（3，4）方向上的投影为
；③若△ABC中，a=5,b =8,c =7，则
·
=20；④若非零向量
、
满足
，则
．其中所有真命题的标号是

三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期和最大值；

（2）求函数
单调递增区间

（16）（本小题满分13分）

袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.

（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；

（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为
，求
的分布列及数学期望E
.

（17）（本小题满分13分）

如图，在长方体
，中，
，点
在棱AB上移动.

（1）证明：
；

（2）当
为
的中点时，求点
到面
的距离；

（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.



（18）（本小题满分13分）

已知数列
的前
项和为
，且
是
与2的等差中项，数列
中，
，点
在直线
上.

（Ⅰ） 求数列
的通项公式
和
；

（Ⅱ） 设
，求数列
的前n项和
.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

（20）（本小题满分14分）

设函数
.

（1）若
,试求函数
的单调区间；

（2）过坐标原点
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为1；

（3）令
，若函数
在区间（0，1］上是减函数，求
的取值范围.

参考答案：

1.【答案】A

【解析】原式=
，则复数
的虚部是
.选A.

2.【答案】C

【解析】当
时，直线
为
，此时两直线不垂直，所以
，所以
的斜率为
，若直线垂直，则有
，即
，所以“
”是“直线
和直线
互相垂直”的充要条件 ，选C.

3.【答案】C

【解析】本程序为分段函数
，当
时，由
得，
，所以
.当
时，由
，得
.所以满足条件的
有3个，选C.

4.【答案】C

【解析】因为
成等比数列，所以
，即
，即
，所以
，选C.

5.【答案】C

【解析】展开式的通项公式为
，由
得
，所以常数项为
，选C.

6.【答案】B

【解析】根据行列式的定义可知
，向左平移
个单位得到
，所以
，所以
是函数的一个对称中心，选B.

7.【答案】C

【解析】由函数
是
上的偶函数及
时
得
故选C.

8.【答案】D

【解析】由圆的方程得
，所以圆心为
，半径为
，四边形的面积
,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以
的最小值为1，而
，即
的最小值为2，此时
最小为圆心到直线的距离，此时
，即
，因为
，所以
，选D.

9.【答案】20

【解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为
人.

10.【答案】

【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为
，所以圆锥的体积为
，半球的体积为
，所以几何体的总体积为
.

11.【答案】

【解析】
，

，因为
，所以
，所以
，解得
，即
的取值范围是
.

12.【答案】

【解析】直线消去参数得直线方程为
，所以斜率
，即倾斜角为
.圆的标准方程为
，圆心坐标为
.

13.【答案】
；

【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知
，在直角三角形
中，
，所以
，由相交弦定理知，
，即
，解得
.

14.【答案】①②④

【解析】由
，所以
，即
或
，所以
∥
，所以①正确.
在
方向上的投影为
，所以②正确.
，即
.所以
，所以③错误.由
得，
，即
，若
，则有
，即
，显然成立，所以④正确.综上真命题的标号为①②④.

15.【答案】（Ⅰ）
--------1分

----------2分

---3分

------------------5分

函数
的最小正周期为
，-------------------6分

函数
的最大值为
-------------8分

（II）由
------------------10分

得
------------------------11分

函数
的 单调递增区间为
------------13分

16. 【答案】解: （Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为

………2分

从8个球中摸出2个小球的种数为
………………4分

故所求概率为
………………………………5 分

（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：

一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，

共有

种 ………………………………6分

一种是有2个红球，1个其它颜色球，

共有
种， ………………………………7分

一种是所摸得的3小球均为红球，共有
种不同摸法，

故符合条件的不同摸法共有
种. ………………………………9分

由题意知，随机变量
的取值为
，
，
.其分布列为：

1

2

3















………………………12分

……………………13分

17.【答案】解：以
为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，则
…………2分



（1）
………………4分

（2）因为
为
的中点，则
，从而
，

，设平面
的法向量为
，则

也即
，得
，从而
，所以点
到平面
的距离为

………………………………………………8分

（3）设平面
的法向量
，

∴

由
令
，

∴

依题意

∴
（不合，舍去），
.

∴
时，二面角
的大小为
. …………………………13分

18.【答案】解：（Ⅰ）∵
是
与2的等差中项， ∴
① ……2分

∴

②

由①-②得