2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）复数

A.
B.
C.
D.

（2）设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

（3）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是

A．3 B．4 C．5 D．6

（4）三个数
的大小顺序是

A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76

C.log0.76＜60.7＜0.76 D.

（5）已知条件
，条件
，则
是
成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

（6）已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于

A．
B．
C．
D．

（7）已知函数

的图象如图所示，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

（8）若
，则向量
的夹角为

A.45° B.60° C.120° D.135°

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共12小题，共110分.

二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知集合
，
，则

（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（11）等差数列
的前
项和是
，若
，
，则
的值为

（12）设
若
是
与
的等比中项，则
的最小值

（13）如右图，
是⊙
的直径，
是
延长线上的一点，过
作⊙
的切线，切点为
，
，若
，则⊙
的直径



（14已知函数
，则关于
的方程
的实根的个数是___ _

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15题）（本小题满分13分）

某普通高中共有教师
人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：

第一批次

第二批次

第三批次



女教师









男教师











已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是
、
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按
的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？

（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知向量
，且
.

（Ⅰ） 求角A的大小；

（Ⅱ） 若
，
，求△ABC的面积.

17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

（18）（本题满分13分）

在数列
中，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅲ)设数列
满足
，求
的前n项和
.

（19）（本小题满分14分）

函数
，过曲线
上的点P
的切线方程为

（1）若
在
时有极值，求
的表达式；

（2）在（1）的条件下，求
在[-3,1]上的最大值；

（3）若函数
在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围.

（20）（本小题满分14分）设
分别是椭圆：
的左、右焦点，过
倾斜角为
的直线
与该椭圆相交于P，
两点，且
.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设点
满足
，求该椭圆的方程.

参考答案：

1.【答案】B

【解析】
，选B.

2.【答案】B

【解析】做出可行域如图
，设
，即
，平移直线
，由图象可知当直线经过点C时，直线
的截距最小，此时
最小.由
,解得
，即
，代入得
，所以最小值为3，选B.

3.【答案】B

【解析】第一次循环得
；第二次循环得
；第三次循环得
，第四次循环得
，但此时
,不满足条件，输出
，所以选B.

【答案】C

4.【答案】D

【解析】
,
,
，所以
，选D.

5.【答案】B

【解析】由
得，
或
，所以
：
，所以
是
成立的必要不充分条件，选B.

6.【答案】A

【解析】圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
,半径
，双曲线的渐近线为
，不妨取
，即
，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离
，即
，所以
，
，即
，所以
，选A.

7.【答案】C

【解析】由图象可知
,所以
，又
，所以
，选C.

8.【答案】A

【解析】因为
，所以
，即
，即
，所以向量
的夹角为
，所以
，选A.

9.【答案】

【解析】因为
，所以
.

10.【答案】

【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为4，
，底面梯形的上底为4，下底为5，腰
,所以梯形的面积为
，所以该几何体的体积为
.

11.【答案】65

【解析】由
，得
，由
得
，解得
，所以
.

12.【答案】4

【解析】由题意知
，即
，所以
.所以
，当且仅当
，即
时，取等号，所以最小值为4.

13.【答案】4

【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，
，
，根据切线定理可知,
,可以解得为4.

14.【答案】5

【.解析】由
得
或
.当
时，
，此时
，由
，得
.当
时，若
，得
，即
，此时
.若
，得
，即
，此时
.所以关于
的方程
的实根的个数共有5个.

15. 【答案】解：（Ⅰ）

-----------3分

（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是
，所以被选取的人数分别为
. -------------5分

（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为
,第二批次的教师为
,第三批次的教师设为
，则从这
名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为
共15个 ------------8分

“来自两个批次”的事件包括

共11个，---11分

所以“来自两个批次”的概率
． -----13分

16. 【答案】解：（Ⅰ）

（2分）

即

由正弦定理可得

整理得
（5分）

（6分）

（II）由余弦定理可得
（8分）

即
（11分）

故
（13分）

17.【答案】（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD …………………1分

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………………………2分

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=
，故∠PDH=60o ………………………4分

（Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB=
∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC ………………………………………8分

（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系，则由题设可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴
=(0，0，1)，
=(1，1，-1) ………………………………………… 9分

设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量， 则
，即

设
，则
，∴m=(1，-1，0) ………………………………………10分

同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1) ………11分

∴
…………………………… 12分

所以二面角A-PC-D为60o ………………………………………………… 13分

18.【答案】解：（Ⅰ）∵

∴数列｛
｝