2013四川省高考压轴卷

理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷（选择题，共50分）

1．已知集合
，
，则

A．

B．



C．

D．



2．若等比数列
满足
，
，则
的值是

A．

B．

C．4

D．2



3．函数
是

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

4．下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

7

9











8

4

4

6

4

7



9

3











A．84，4.84 B．84，1.6

C．85，1.60 D．85，4

5．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为

A．

B．

C．

D．



6．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是

A．

B．

C．

D．

7．与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有

A．2条

B．3条

C．4条

D．6条



8．已知双曲线的方程为
，则离心率的范围是

A．

B．

C．

D．



9．函数
的零点所在的区间是

A．

B．

C．

D．



10．已知集合
，
，定义函数
。若点
、
、
，
的外接圆圆心为D，且
，则满足条件的函数
有

A．6个

B．10个

C．12个

D．16个



第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题共5小题。每小题5分，共25分，将答案填在答题卡的相应位置）

11．设
是实数，且
是实数，则
__________。

12．七名同学站成一排合影留念，要求甲必须站在正中间，乙丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__________种。

13．
是抛物线
上一点，
是抛物线
的焦点。以
为始边，
为终边的角
，则
（
是坐标原点）的面积为____________________。

14．若实数
满足
，则目标函数
的最大值是__________。

15．以下命题正确的是__________

①把函数
的图象向右平移
个单位，得到
的图象；

②
的展开式中没有常数项；

③已知随机变量
，若
，则
；

④若等差数列
前
项和为
，则三点
，
，
共线．

三、解答题（本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
和通项
满足
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求证：

17．（本小题满分12分）

已知函数，
的最大值为3，
的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在
轴上的截距为2．

（1）求函数
的解析式；

（2）求
的单调递增区间．

18．（本小题满分14分）

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：

药物效果试验列联表

患病

未患病

总计



没服用药

20

30

50



服用药

x

y

50



总计

M

N

100



设从没服药的动物中任取两只，未患病数为
；从服用药物的动物中任取两只，未患病数为
，工作人员曾计算过

（1）求出列联表中数据
的值，请根据数据画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；

（2）求
与
的均值并比较大，请解释所得出结论的实际含义；

（3）能够以
的把握认为药物有效吗？

参考数据：

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
—
中，侧棱垂直底面，
，
。

（1）求证：
；

（2）求二面角
—
—
的大小。

20．（本小题满分13分）

如图，
是抛物线为
上的一点，以S为圆心，r为半径（
）做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交x轴负半轴于点E，若EC : ED = 1 : 3，求
的值。

21．（本小题满分14分）

设函数
。

（1）若
，
（a为常数），求
的解析式

（2）在（1）的条件下，若
，求
的单调区间；

（3）在（1）的条件下，若当
时，
，求a的取值范围。

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

C

D

C

C

B

C

C



二、填空题

11．2

12．240

13．

14．2

15．①②④



三、解答题

16．解：（Ⅰ）当
时，
，则
，

由题意可知
，
……2分

所以{
}是公比为
的等比数列 ……3分

，
……4分

……5分

（II）证明：
……6分

设
……8分

∴
……10分

∴
……12分

17．解：（Ⅰ）
------- 1分

依题意
------2分

又

-------3分

令 x=0,得
-------4分

所以函数
的解析式为
-------6分

（还有其它的正确形式，如：
等）[

（Ⅱ）当
，
时
单调递增 -----8分

即
，
------10分

∴
的增区间是
-------12分

18．（1）解：
，所以估计该班百米测试成绩的平均数为15.7秒。 ……3分

（2）由直方图知，成绩在
内的人数为：
人，所以该班成绩良好的人数为27人.。 ……4分

的取值为0，1，2 ……5分

的分布列为

0

1

2



P









……7分

所以
的数学期望为
……9分

（3）由直方图知，成绩在
的人数为
人，分别设为
、
、
，

成绩在
的人数为
人，分别设为
、
、
、
.

若
时，有
3种情况；

若
时，有
6种情况；(C
)

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



z

zA

zB

zC

zD



共有12种情况 ……12分

所以基本事件总数为21种， ……13分

事件“
”所包含的基本事件个数有12种。

∴
=
……14分

19．方法一

（1）
，
且
，∴
平面
，

又
平面

，

∴
， --------------------- 2分

且

平面
， -----------------------3分

又
平面

--------------------- 4分

（2）取
的中点为
，在平面
内过
作
于
，连接

则
平面
，所以
， --------------------- 5分

而且

所以
平面
，所以

所以
是二面角
的平面角 ， --------------------- 7分

又
-----------------------8分

在
内，解得
， ----------------------9分

所以
-----------------------10分

所以二面角
的平面角为
--- -------------------12分

方法2: 建立空间直角坐标系（以
为原点，
为
轴正半轴，
为
轴正半轴，
为
轴正半轴）

则
--------------------- 1分

（1）
--------------------- 2分

--------------------- 3分

--------------------- 4分

（2）取
的中点为
，则
。平面
的法向量