2013北京市高考压轴卷

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．在复平面内，复数
的对应点位于（ ）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

2．设集合
，
则使
成立的
的值是

（A）1　　　 （B）0 （C）－1 （D）1或－1

3．设函数
，若
，则实数
的取值范围是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知
为非零向量，则“函数
为偶函数”是“
”的 （ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5．
为等差数列，
为其前
项和，
则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6.已知
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，给出下列命题：

①若
，则
；②若
，且
则
；③若

，则
；④若
，
，且
，则
。其中正确命题的序号是（ ）

（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③

7．一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为 （ ）

（A）1 （B）
（C）
（D）

8．已知函数
，当x=a时，
取得最小值,则在直角坐标系

中，函数
的大致图象为（ ）

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．已知
为第二象限角，
，则

10. 已知
=（3，2），
=（-1，0），向量
+
与
-2
垂直，则实数
的值为

11. 如果执行右面的程序框图，则输出的结果是

12. 抛物线
的准线与双曲线
的两渐近线围成的三角形的面积为

13.设不等式组
表示的平面区域为
．在区域
内随机取一个点，则此点到直线
的距离大于2的概率是

14．以下正确命题的为

①命题“存在
，
”的否定是：“不存在
，
”；

②函数
的零点在区间
内；

③在极坐标系中，极点到直线

的距离是
．

④函数
的图象的切线的斜率的最大值是
；

⑤线性回归直线
恒过样本中心
，且至少过一个样本点.

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本小题共13分）

已知向量
，记函数
.求：

（I）函数
的最小值及取得小值时
的集合；

（II）函数
的单调递增区间.

16．（本小题共13分）

已知数列
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．

（1）求数列
和
的通项公式

（2）数列
满足
，求数列
的前
项和
．

17．本小题共14分

为了参加
年全省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出
人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：

班级

高三（
）班

高三（
）班

高二（
）班

高二（
）班



人数











（I）从这
名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；

（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
．

18．（本小题共13分）

如图所示，在棱锥
中，
平面
，底面
为直角梯形，
且
//
，
，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值.

19．（本小题共14分）

已知函数
在点
处的切线方程为
．

（I）求
，
的值；

（II）对函数
定义域内的任一个实数
，
恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本小题共13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，短轴长为4
.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
。

①求四边形APBQ面积的最大值；

②设直线PA的斜率为
，直线PB的斜率为
，判断
+
的值是否为常数，并说明理由．

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1【答案】A

【解析】
,，对应的点的坐标为
，所以在第一象限，选A.

2【答案】C

【解析】若
，则有
.若
，
，不成立。若
，则
不成立。若
，则
，满足
，所以
，选C.

3.【答案】C

【解析】若
，则由
得
，即
，所以
。若
，则由
得
，，所以
。综上
的取值范围是
，即
，选C.

4.【答案】C

【解析】因为
，所以若
为偶函数，所以
，即
，所以
。若
，则有
，所以
，为偶函数，所以“函数
为偶函数”是“
”的充要条件，选C.

5.【答案】A

【解析】设公差为
，则由
得
，即
，解得
，所以
，所以
。所以
，选A.

6.【答案】B

【解析】①当
时，
不一定成立，所以错误。②成立。③成立。④
，
，且
，
也可能相交，所以错误。所以选B.

7.【答案】B

【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为
，是边长为2的正三角形，
，且
，底面
为等腰直角三角形，
，所以体积为
，故选B.


8.【答案】B

【解析】
，因为
，所以
，所以由均值不等式得
，当且仅当
，即
，所以
时取等号，所以
，所以
，又
，所以选B.

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9.【答案】

【解析】因为
为第二象限角，所以
，所以
.

10.【答案】1

【解析】
，因为向量
+
与
-2
垂直，所以
，即
，解得
.

11.【答案】

【解析】当
时，
;当
时，
;当
时，
;当
时，
;当
时，
;当
时，
;当
时，
;当
时，
所以取值具有周期性，周期为6，当
时的
取值和
时的
相同，所以输出
.

12.【答案】

【解析】抛物线
的准线为
，双曲线
的两渐近线为
和
，令
，分别解得
，所以三角形的低为
，高为3，所以三角形的面积为
.

13.【答案】

【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线
的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为
,所以

,根据几何概型可知所求概率为
.

14.②③④ 【解析】①命题的否定为“任意的
，
”，所以不正确；②因为
，又
，
，所以函数的零点在区间
，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离，
，即普通方程为
，则极点到直线的距离为
，正确；④函数的导数为
，当且仅当
，即
时取等号，所以正确；⑤线性回归直线
恒过样本中心
，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.

三、解答题（共6小题，共80分）

15.解：（Ⅰ）

…………………………3分

=
， ……………………… 5分

当且仅当
,即

时，
，

此时
的集合是
. ………………………… 8分

（Ⅱ）由
，所以
,

所以函数
的单调递增区间为
. …………… 13分

16.（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为

由
，得
，从而

因此
………………………………………3分

又
，

从而
，故
……………………………6分

（Ⅱ）

令

……