2013上海市 高考压轴卷

理科数学试题

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.复数
满足
（其中
为虚单位），则
.

2.设集合
，则
.

3.直线
的倾斜角
.

4.
的展开式中，系数最大的项为第 项.

5.已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，则
的值为_____________.

6.已知
，且
，则
.

7.若直线
与圆
有公共点，则实数
的取值范围是 .

8.已知定义域为
上的偶函数
在
上是减函数,且
,则不等式
的解集为_____________.

9.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
等于 .

10.直线
的参数方程是
（其中
为参数），圆
的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .

11.在直角三角形
中，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
.

12.设
满足约束条件
，向量
，且
,则
的最小值为 .

13.将正整数
随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 .

14.已知正方体
的棱长为
，动点
在正方体
表面上运动，且
，记点
的轨迹的长度为
，则
______________;关于
的方程
的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.若复数
为纯虚数，则
的虚部为（ ）

A.
B.
C.
D.

16.指数函数
且
在
上是减函数，则函数
在R上的单调性为（ ）

A.单调递增 B.单调递减

C.在
上递增，在
上递减 D.在
上递减，在
上递增

17.已知锐角A，B满足
,则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

18.对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有

②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数.

下面有三个命题：

若函数
为理想函数，则
；

函数
是理想函数；

若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
，

则
；

其中正确的命题个数有（ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.

设
的三内角
的对边长分别为
，已知
成等比数列，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）设向量
，
，当
取最小值时，判断
的形状.

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.

如图，已知直角梯形
所在的平面垂直于平面
，
，
，
．

（Ⅰ）在直线
上是否存在一点
，使得
平面
？请证明你的结论；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题2分.

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放

射性污染指数
与时刻
(时) 的关系为
，其中
是与气

象有关的参数，且
．

（Ⅰ）令
，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；

（Ⅱ）若用每天
的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作
，求
；

（Ⅲ）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染

指数是否超标？

22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.

已知点
是离心率为
的椭圆
：
上的一点．斜率为
的直线
交椭圆
于
、
两点，且
、
、
三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线
、
的斜率之和为定值．

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

有
个首项都是1的等差数列，设第
个数列的第
项为

，公差为
，并且
成等差数列．

（Ⅰ）证明
（
，
是
的多项式），并求
的值；

（Ⅱ）当
时，将数列
分组如下：

(每组数的个数构成等差数列)．设前
组中所有数之和为
，求数列
的前
项和
．

（Ⅲ）设
是不超过20的正整数，当
时，对于（Ⅱ）中的
，求使得不等式
成立的所有
的值．

KS5U2013上海市 高考压轴卷

理科数学试题答案及解析

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.【答案】

【解析】

2.【答案】

【解析】
,

3.【答案】

【解析】

4.【答案】3或5

【解析】
的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大.

5.【答案】

【解析】因为
是等差数列，所以

是等比数列，所以
，因为
，所以
，所以
.

6.【答案】

【解析】
.

7.【答案】

【解析】圆
的圆心
到直线
的距离为
，则

8.【答案】

【解析】因为函数为偶函数,所以
,且函数在
上递增.所以由
得
,即
,所以不等式
的解集为
.

9.【答案】0.3

【解析】
，则
，又分布图像关于直线
对称，

，则
，

10.【答案】

【解析】
，
，

圆
的直角坐标方程为
，

即
，
圆心直角坐标为
．

直线
的普通方程为
，

圆心
到直线
距离是
，

∴直线
上的点向圆
引的切线长的最小值是
.

11.【答案】

【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形。因为
是斜边
上的一个三等分点，所以
,所以
，所以

，所以

.

12.【答案】

【解析】不等式对应的可行