2013北京市高考压轴卷

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A
，B
，则
（ ）

A．1+i B．i C．1－i D．一i

2．已知
（ ）

A．
B．（
） C．
D．（
）

3．下列命题的否定为假命题的是（ ）

A．
B．任意一个四边形的四个顶点共圆

C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．

4．设曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线
垂直，则=（ ）

A．2 B．-2 C．
D．-

5．执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知，为两条不同的直线，、
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．若
,
,且
,则

B．若平面内有不共线的三点到平面
的距离相等，则

C．若
，则

D．若
，则

7．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．1

8．已知抛物线
的焦点F与双曲
的右焦点重合，抛物线的准 线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且
，则A点的横坐标为（ ）

A．
B．3 C．
D．4

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．已知等差数列{
}中，
=32，
=8，则此数列的前10项和
=

10．若
，

，则
与
的夹角是

11．已知
，则

12．已知函数
，当
时，取得最小值
,则

13．定义在上的函数
满足
，且
时，
，则
=

14．下列命题：

①若函数
为奇函数，则=1;

②函数
的周期

③方程
有且只有三个实数根；

④对于函数
，若
，则
.

以上命题为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本小题共13分）

已知
为
的内角
的对边，满足
，函数

在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，证明
为等边三角形．

16．（本小题共13分）

某普通高中共有教师
人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：

第一批次

第二批次

第三批次



女教师









男教师











已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是
、
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按
的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？

（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．

17．（本小题共13分）

已知点（1,2）是函数
的图象上一点，数列
的前n项和
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列
前2013项中剩余项的和.

18．（本小题共14分）

如图所示，在正方体
中，E、F分别为DD1、DB的中点.

（I）求证：EF//平面ABC1D1；

（II）求证：
..

19．（本小题共13分）

已知椭圆C：
的离心率为
，其中左焦点
。

（Ⅰ）求出椭圆C的方程；

（Ⅱ） 若直线
与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆
上，求m的值。

20．(本小题满分14分)

已知函数
．

(I)若a>0，试判断
在定义域内的单调性；

(Ⅱ)若
在[1，e]上的最小值为
，求a的值；

(III)若
在(1，+)上恒成立，求a的取值范围

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.【答案】A

【解析】由复数的几何意义可知
，所以
，选A.

2.【答案】A

【解析】
，
，所以
，选A.

3.【答案】D

【解析】
正确，所以D的否定是假命题，选D

4.【答案】B

【解析】函数的导数为
，所以函数在
的切线斜率为
，直线
的斜率为
，所以
，解得
，选B.

5.【答案】C

【解析】由题意知
。当
时，由
，得
，解得
。当
时，由
，得
，所以输入的实数值的个数为3个，选C.

6.【答案】D

【解析】根据线面垂直的性质可知，选项D正确。

7.【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为
，选A.

8.【答案】B

【解析】抛物线的焦点为
，准线为
。双曲线的右焦点为
，所以
，即
，即
。过F做准线的垂线，垂足为M,则
，即
，设
，则
代入
，解得
。选B.

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9.【答案】190

【解析】由
，解得
，由
，解得
。所以
。

10.【答案】

【解析】因为
，所以
，即
，所以
，所以
。

11.【答案】

【解析】因为
，所以
，所以
故
所以
。

12.【答案】4

【解析】
，因为
，所以
，所以由均值不等式得
，当且仅当
，即
，所以
时取等号，所以
，
。

13.【答案】

【解析】因为
，所以函数
为奇函数。因为
，所以
，即函数的周期为4.所以
,因为
，所以
，即
，所以
。

14.【答案】①②③

【解析】由函数为奇函数知
即
.故①正确，易知②也正确，由图象可知③正确，④错误.

三、解答题（共6小题，共80分）

15.解：（Ⅰ）

………………………………………………………3分

………………………………………………………………………5分

所以
………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由题意知：由题意知：
，解得：
， …………………………8分

因为
,
,所以
…………………………10分

由余弦定理知：
………………………………………10分

所以
因为
，所以
，

即：
所以
………………………………………………………12分

又
，所以
为等边三角形. …………………………………………………13分

16.解：（Ⅰ）

-----------3分

（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是
，所以被选取的人数分别为
. -------------5分

（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为
,第二批次的教师为
,第三批次的教师设为
，则从这
名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为
共15个 ------------8分

“来自两个批次”的事件包括

共11个，---11分

所以“来自两个批次”的概率
． -----13分

17解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数
，得
.……………………（1分）

…………………………………………（2分）

当
时，
…………………………………（3分）

当
时，

……………………………………………（5分）

经验证可知
时，也适合上式，

.…………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列
为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项
公比
为其第671项………………………………………………………………（8分）

∴此数列的和为
……………………（10分）

又数列
的前2013项和为

…………………………………（12分）

∴所求剩余项的和为
…（13分）

18.（Ⅰ）连结
，在
中，、分别为
，
的中点，则

. ……7分

（Ⅱ）

. ……14分

19.解：（1）由题意得，
，
………2分

解得：
………4分

所以椭圆C的方程为：
………6分

（2）设点A,B的坐标分别为
，
，线段AB的中点为M
，

由
，消去y得
………8分

………9分

………10分

点 M
在圆
上，

………13分

20.解　(I)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝＋＝.