2013上海市 高考压轴卷

文科数学试题

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.函数
的定义域为 .

2.复数
满足
（其中
为虚单位），则
.

3.已知
,
,向量
与
的夹角为
,则
.

4.直线
被圆
截得的弦长为 ．

5.在等差数列
中，若
，前5项的和
，则
.

6.若函数
是奇函数，则
.

7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 .

8.不等式组
表示的平面区域的面积是 .

9.直线
的参数方程是
（其中
为参数），圆
的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .

10.若直线
与圆
有公共点，则实数
取值范围是 .

11.在
中，若
，则
.

12.设
，则

的值为 ..

13.平行四边形
中，
为
的中点．若在平行四边形
内部随机取一点
，则点
取自
内部的概率为 .

14.给出定义：若
(其中
为整数)，则
叫做离实数
最近的整数，记作
，即
.在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：

①
的定义域是
，值域是
；②点
是
的图像的对称中心，其中
；③函数
的最小正周期为1；④ 函数
在
上是增函数．则上述命题中真命题的序号是 ．

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.已知函数
则下面结论中正确的是（　　）

A.
是奇函数 B.
的值域是

C.
是偶函数 D.
的值域是

16.已知
在区间
上有反函数，则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

17.已知锐角
满足
,则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

18.已知椭圆
的离心率为
，双曲线
的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
.

①
； ②
；

③
； ④
；

⑤
.

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出常数
；

（Ⅱ）根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.

如图,在长方体
中,
,点
在棱
上.

（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
,求点
到平面
的距离.

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.

某药厂在动物体内进行新药试验．已知每投放剂量为
的药剂后，经过
小时该药剂在动物体内释放的浓度
(毫克/升) 满足函数
，其中
．当药剂在动物体内中释放的浓度不低于
(毫克/升)时，称为该药剂达到有效．

（Ⅰ）若
，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）?

（Ⅱ）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）达到有效，求应该投放的药剂量
的最小值（
取整数）.

22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.

已知椭圆
的左，右两个顶点分别为
、
，曲线
是以
、
两点为顶点，焦距为
的双曲线.设点
在第一象限且在曲线
上，直线
与椭圆相交于另一点
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）设
、
两点的横坐标分别为
、
，求证
为一定值；

（Ⅲ）设
与
（其中
为坐标原点）的面积分别为
与
，且
，求
的取值范围.

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

设正数数列
的前
项和为
，且对任意的
，
是
和
的等差中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在集合
中，是否存在正整数
，使得不等式
对一切满足
的正整数
都成立？若存在，则这样的正整数
共有多少个？并求出满足条件的最小正整数
的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）请构造一个与数列
有关的数列
，使得
存在，并求出这个极限值．

KS5U2013上海市 高考压轴卷

文科数学试题答案及解析

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.【答案】
.

【解析】由
得
.

2.【答案】

【解析】

3.【答案】

4.【答案】

【解析】圆的标准方程为
，圆心坐标为
，半径为
，圆心到直线
的距离
，所以弦长
.

5.【答案】

【解析】在等差数列中，
，解得
，所以
.

6.【答案】

【解析】因为函数
为奇函数，所以
，即
。

7.【答案】3

【解析】第一次循环有
；第二次循环有
；第三次循环有
；此时满足条件，输出
.

8.【答案】

【解析】不等式组表示的区域为三角形
，由题意知
，所以平面区域的面积
。

9.【答案】

【解析】
，
，

，

即
，
．

，

圆心C到
距离是
，

∴直线
上的点向圆C引的切线长的最小值是

10.【答案】

【解析】圆
的圆心
到直线
的距离为
，则

11.【答案】

【解析】由余弦定理得
，即
整理得
，解得
。

12.【答案】1

【解析】令
则有

13.

【答案】

【解析】,根据几何概型可知点
取自△
内部的概率为
，其中
为平行四边形底面的高。

14.【答案】①③

【解析】①中，令
，所以
。所以正确。②
，所以点
不是函数
的图象的对称中心，所以②错误。③
，所以周期为1，正确。④令
，则
，令
，则
，所以
，所以函数
在
上是增函数错误。，所以正确的为①③

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.【答案】D

【解析】在坐标系中，做出函数
的图象如图，由图象可知选D.

16.【答案】D

【解析】
在区间
上有反函数.
在区间
上是单调函数，则有
在区间
上恒成立，即
故选D.

17.【答案】D

【解析】
，

又
，则

则
.

【注】直接按和角公式展开也可.

18.【答案】D

【解析】双曲线
的渐近线方程为
，由
可得
,椭圆方程为
，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在一象限的小正方形边长为
，则
，从而点（2,2）在椭圆上, 即：
.于是
.椭圆方程为
，答案应选D。

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.

解:(Ⅰ）选择②式计算:
.

（Ⅱ）猜想的三角恒等式为:
.

证明:

.

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.

如图,在长方体
中,
点
在棱
上.

（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
,求点
到平面
的距离.

解法一:(1)连结
.由
是正方形知
.

∵
平面
,

∴
是
在平面
内的射影.

根据三垂线定理得
,

则异面直线
与
所成的角为
.

（Ⅱ）作
,垂足为
,连结
,则
.

所以
为二面角
的平面角,
.于是
,

易得
,所以
,又
,所以
.

设点
到平面
的距离为
,则由于
即
,

因此有
,即
,∴
.

解法二:如图,分别以
为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）由
,得
,

设
,又
,则
.

∵
∴
,则异面直线
与
所成的角为
.

（Ⅱ）
为面
的法向量,设
为面
的法向量,则

,

∴
. ①

由
,得
,则
,即
,∴
②由①、②,可取
,又
,

所以点
到平面
的距离
.

21.(本题满分14分）