2013届高三六校高考模拟考试

理科数学试题

本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．满足
的复数
的共轭复数是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
的定义域为
，
的定义域为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）

A．
B．

C．
D．

4．若变量
满足
则
的最大值是（ ）

A．90 B．80

C．50 D．40

5．记等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）

A．2 B．6

C．16 D．20

6． 已知直线
，
，过
的直线
与
分别交于
，若
是线段
的中点，则
等于（ ）

A．12 B．
C．
D．

7．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．设
，定义
，则
+2

等于（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）

9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．

一年级

二年级

三年级



女生

373







男生

377

370







10．若
则
的值为 .

11．曲线
在点（1，
）处的切线方程为
，则
．（
为常数）

12．已知
，若
是它一条对称轴，则
．

13．如右图，等边△
中，
，则
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）曲线
（
为参数）上一点
到点
与
的距离之和为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如右图，在
△
中，斜边
，直角边
，如果以
为圆心的圆与
相切于
，则⊙
的半径长为 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设△
的内角
的对边分别为
且
，
，若
，求
的值。

17．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米
75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这15天的数据中任取三天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布列；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。

18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，
是边长为2的正三角形，
平面ABC，平面
平面ABC，BD=CD，且
．

（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；

（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。

19．（本小题满分14分）数列{
}的前n项和为
，
，
．

（1）设
，证明：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前
项和
；

（3）若
，
．求不超过
的最大整数的值。

20．（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线
的焦点F的直线
与抛物线相交于A，B两点。

（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；

（2）设抛物线
在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；

（3）设过抛物线
焦点F的直线
与椭圆
的交点为C、D，是否存在直线
使得
，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）已知函数
，

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，函数
恒成立，
求实数
的取
值范围；

（3）设正实数
满足
．求证：

．

2013届高三六校高考模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

D

C

D

B

B

A



1．【解析】
．故选D．

2．【解析】
，
．故选C．

3．【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2013，所以应填入
．故选D．

4．【解析】画出可行域（如图），在
点取最大值
．答案： C．

5．【解析】
，

．故选D ．

6．【解析】设
、
，所以
、
．

所以
．故选B．

7．【解析】如图，四棱锥
．

．故选B．

8．【解析】设终边过点
的角
（不妨设
）则

，其中
是终边过
的角（不妨设
）．

当
时，有
+2

．故选A．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

9．16，10．2，11．
，12．
，13．
，14．
，15．
，

9．【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是
，即总体中各个年级的人数比例为
，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
．答案：
．

10．【解析】
．答案：
．

11．【解析】
．答案：
．

12．【解析】由已知得
，由
代入得
，

又
，所以
．答案：
．

13．【解析】
,

．

答案：
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．【解析】曲线
表示的椭圆标准方程为
，可知点
，
为椭圆的焦点，故
．答案：
．

15．【解析】连
则
，在
中，
,

．答案：
．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．【解析】（1）
，…3分

则
的最小值是
， 最小正周期是
；…………6分

（2）
，则
，…………7分

,
,所以
，

所以
，
，…………9分

因为
，所以由正弦定理得
，……①…………10分

由余弦定理得
，即
……②………11分

由①②解得：
，
．…………12分

17．【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
，
． ……………………4分

（2）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
的可能值为
，其分布列为：
……………………7分

























……………………7分

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，10分

一年中空气质量达到一级或二级的天数为
，则
~

，
一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。12分

18．【解析】（1）分别取
的中点
,连接

,则
∥
,
∥
,且
，

因为
，
,
为
的中点，

所以
,
，

又因为平面
⊥平面
，

所以
平面
．……………3分

又
平面
,

所以
∥
，……5分

所以
∥
，且
,因此四边形
为平行四边形，

所以
∥

，所以
∥
，又
平面
，
平面
，

所以
∥平面
.…7分

（或者建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量
，计算
即证）

（2）解法一:

过
作
垂直
的延长线于
,连接
.

因为
,
,

所以
平面
,
平面

则有
.

所以
平面
,
平面
,

所以
.

所以
为二面角
的平面角，

即
. ……10分

在
中，
，则
,
.

在