山东省烟台市

2013届高三5月适应性练习（一）

数学（理）试题

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要求字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．设i为虚数单位，复数
等于

A．l+i B．-l-i C．l-i D．-l+i

2．不等式|2x －l|－x<1的解集是

A．{x|0

x+2y >1

3．己知变量x，y满足约束条件
，则z=x－2y的最大值为

A．-3 B．0 C．1 D．3

4．在
的二项展开式中，x2的系数为

A．
B．
C．
D．

5．下列有关命题说法正确的是

A．命题p：“
x∈R，sinx+cosx=
”，则
p是真命题

B．“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件

C．命题“
x∈R，使得x2 +x+1<0“的否定是：“
x∈R，x2+x+1<0”

D．“a>l”是“y=logax（a >0且a≠1）在（0，+
）上为增函数”的充要条件

6．设函数f（x）=
，其中
∈
，则导数
（1）的取值范围是

A．[-2，2] B．
C．
D．

7．己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y = a1x与圆（x－2）2+ y2 =1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=

A． n2 B．-n2 C．2n－n2 D．n2－2n

8．执行右边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是

A．120 B．720

C．1440 D．5040

9．已知函数f（x）=x2－2（－1）k1nx（k∈N*）存在极值，则k的取值集合是

A．{2,4,6,8,…} B．{o,2,4,6,8,…}

C．{l,3,5,7,…} D．N*

10．若cos（
2x）=
，则sin（x+
）的值为

A．
B．

C．
D．

11．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于
，则抛物线的方程为

A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y

12．已知f（x）=
x2+sin
，
（x）为f（x）的导函数，则
（x）的图像是

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在答题卡的相应位置．

13．由曲线f=x2－1和直线y=0所围成的封闭图形的面积为 。

14．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如右图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为 。

15．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 。

16．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=2x－l －3，则不等式f（x）>l的解集为 。

三、解答题本大题6个小题，共74分解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤

17．（本小题满分12分）

已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m=（2sinB，
），
，且m⊥n，

（1）求f（x）=sin2xcosB－cos2xsinB的单调减区间；

（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1=1，an>0，an+1是函数f（x）=
x3+
的极小值点．

（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式an；

（2）设bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
．

19．（本题满分12分）

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为AD的中点．

（1）证明：MF⊥BD；

（2）若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为
，求AB的长．

20．（本小题满分12分）

为了解某小型企业职工喜爱运动是否与性别有关，对本企业50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱运动的职工的概率为
．

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；

（2）能否在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为喜爱运动与性别有关？

说明你的理由：

（3）现从女职工中抽取2人进一步调查，设其中喜爱运动的女职工人数为
，求
的分布列与期望，

下面的临界值表供参考：

（参考公式：
，其中

21．（本小题满分13分）

已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于 A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若△OAC的面积为15
，求这个椭圆的方程．

22．（本小题满分13分）

己知函数
．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若关于x的不等式1nx0）都成立，求实数k的取值范围；

（3）是否存在正实数m、n（m