2013西宁五中片区大联考

数学（理）试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1．已知集合
，集合
，集合
，

则
（ ）

A．
B.
C .
D .

2．i是虚数单位，复数
（ ）

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．已知向量
，
，若
与
共线，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

4．在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ）

: A.
B.
C.
D.

5. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

6.函数
的部分图象如图所示，设
是图象的最高点，
是图象与
轴的交点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

7．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知数列
满足
，则
=（ ）

A．0 B．
C．
D．

10．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) w.w.w.k.s

A．
B．
C．
D． 2

11. 已知

为
的导函数，则
的图像是（ ）

12. 定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至多三个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13.设
为坐标原点，点
坐标为
，若
满足不等式组：

则
的最大值为

14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
、
、
，若
则

15．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是
，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是

16.下列四个判断：

①
；

②已知随机变量X服从正态分布N（3，
），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;

③已知
的展开式的各项系数和为32，则展开式中x项的系数为20；

④
，其中正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．(本题满分12分)已知等差数列
满足
.

（1）求
；

（2）数列
满足
,
为数列
的前
项和，求
.

18．（本题满分 12 分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5组制出频率分布直方图如图所示．

（1）求a， b , c , d ;

（2）该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，

则每组应各抽多少名学生？

（3）在（2）的前提下，已知面试有 4 位考官，被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲考官面试，

其余 4 名则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试，求这 4 名学生分配到的考官个数

X 的分布列和期望．

19. （本题满分 12 分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB
AD，CD
AD， PA
底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN
平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦.

20．（本小题满分12分） 已知椭圆
过点
，离心率
，

若点
在椭圆C上，则点
称为点M的一个“椭点”，直线L交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。

21．（本小题满分12分）已知函数
，

（1）若函数满足
，且在定义域内
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（3）当
时，试比较
与
的大小

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是

BC边上的高，AE是⊙O的直径．

（1）求证：AC·BC＝AD·AE；

（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若

AF＝4，CF＝6，求AC的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线
的参数方程为
（t为参数，0＜α＜π）．曲线C的极坐标方程为ρ＝
．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求｜AB｜的最小值．

24．（本题满分 10 分）选修 4 一 5 ：不等式

若存在实数 x 使
成立，求实数 a 的取值范围。

2013西宁五中片区高三联考数学（理）答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

C

B

D

B

A

B

B

A

B



填空题：

13．12 14．
15．
16．②

三、解答题：

17．

———————5分

————————8分

——————10分

———12分

19．答案：（1）

是
的中点，取PD的中点
，则

，又

四边形
为平行四边形

∥
，

∥
……………..（4分）

（2）以
为原点，以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图，则
，
，
，
，
，

在平面
内设
，
，
，
由

由

是
的中点，此时
（8分）

（3）设直线
与平面
所成的角为

，
，设
为

故直线
与平面
所成角的正弦为
（12分）

解法二：

（1）

是
的中点，取PD的中点
，则

，又

四边形
为平行四边形

∥
，

∥
………（4分）

（2）由（1）知
为平行四边形

，又

同理
，

为矩形
∥
，
，又

作
故

交
于
，在矩形
内，
，

，

为
的中点

当点
为
的中点时，
……… （8分）

（3）由（2）知
为点
到平面
的距离，
为直线
与平面
所成的角，设为
，

直线
与平面
所成的角的正弦值为
……….(12分)

解答(Ⅰ)由已知
解得
，
，方程为
·······４ 分

(Ⅱ) 设
，则

（1）当直线
的斜率存在时，设方程为

联立得：

有
①

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得：
·

整理得：
②

将①式代入②式得：
, ··········